Question

Две окружности вписаны в угол 60°, причём одна из них проходит через центр другой. Найдите отношение их радиусов

Answer 1

Пусть мы построили две окружности, которые вписаны в угол 60°, причём одна из них проходит через центр другой.

Проведём радиусы в точки касания со стороной угла.

Из центра меньшей окружности опустим перпендикуляр на радиус большей окружности.

Центры окружностей лежат на биссектрисе угла, угол между биссектрисой и стороной угла равен 30 градусов.

Получаем: радиус R = r + R*sin 30° = r + R*(1/2)

r  = R/2 или R = 2r.

Ответ: отношение радиусов равно 1 : 2.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться геометрическими свойствами.

Предположим, что одна из окружностей с радиусом R1 проходит через центр другой окружности с радиусом R2. Тогда эта окружность будет касаться внутренней окружности, и их центры будут соединены радиусом бОльшей окружности (с радиусом R1). Таким образом, получится равнобедренный треугольник, в котором угол между радиусами равен 60 градусам.

Теперь мы можем воспользоваться законом косинусов для вычисления отношения радиусов R1 и R2:

R1^2 = R2^2 + R2^2 - 2 * R2 * R2 * cos(60°)

R1^2 = 2 * R2^2 - 2 * R2^2 * cos(60°)

R1^2 = 2 * R2^2 - R2^2

R1^2 = R2^2

Теперь извлекаем корни:

R1 = R2

Отношение их радиусов равно 1:1. То есть, радиусы двух окружностей равны друг другу.