Question

Решить интеграл sqrt(5-tgx)/cos^2x

Answer 1

∫√(5-tgx)dx/cos²x=-∫√(5-tgx)d(-tgx+5)=-((5-tgx)³/²)/(3/2)+c=

-(2/3)*(5-tgx)√(5-tgx)+c

Answer 2

Чтобы решить данный интеграл, воспользуемся методом замены переменной.

Интеграл имеет вид:

$\int \frac{\sqrt{5 - \tan(x)}}{\cos^2(x)} \, dx$

Для упрощения будем использовать следующие тождества: $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$

Теперь заменим $u = \sin(x)$, тогда $du = \cos(x) \, dx$, и наш интеграл преобразуется:

$\int \frac{\sqrt{5 - \frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}}}{1 - u^2} \, du$

Раскроем корень в числителе:

$\int \frac{\sqrt{5\sqrt{1 - u^2} - u}}{1 - u^2} \, du$

Теперь проведем замену $v = \sqrt{1 - u^2}$:

$u = \sin(x) \Rightarrow v = \cos(x) \, dx$ $du = -\sin(x) \, dx \Rightarrow dx = -\frac{du}{\sin(x)}$

Подставим в интеграл:

$\int \frac{\sqrt{5v - u}}{v^2} \left(-\frac{du}{\sin(x)}\right)$

$= -\int \frac{\sqrt{5v - u}}{v^2} \frac{du}{\sin(x)}$

Теперь интегрируем относительно $v$:

$= -\int \frac{\sqrt{5v - u}}{v^2} \frac{du}{\sin(x)}$

$= -\int \frac{5v^{3/2}}{v^2} \frac{du}{\sin(x)} + \int \frac{u^{1/2}}{v^2} \frac{du}{\sin(x)}$

$= -\int \frac{5}{v^{1/2}} \frac{du}{\sin(x)} + \int \frac{u^{1/2}}{v^2} \frac{du}{\sin(x)}$

$= -5\int \frac{1}{v^{1/2}} \, du + \int \frac{u^{1/2}}{v^2} \, du$