Question

Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства обоснуйте свой ответ а) x^2-7x+6>0b) -5x^2+2x+3>0c) -3x^2+5x-4>0d) x^2+4x+10≥0​

Answer 1

Ответ:

$a)\ \ x^2-7x+6>0\ \ ,\ \ D=25>0\ ,\ x_1=1\ ,\ x_2=6\ \to \\\\x\in (-\infty ;\ 1\ )\cup (\ 6\ ;+\infty )$

Ответ: решение неравенства - это  объединение двух промежутков .

$b)\ \ -5x^2+2x+3>0\ \ \to \ \ 5x^2-2x-30\ ,\\\\x_1=-\dfrac{3}{5}\ ,\ \ x_2=1\ \ \to \ x\in (\, -\dfrac{3}{5}\ ;\ 1\, )$

Ответ:  открытый промежуток .

$c)\ \ -3x^2+5x-4>0\ \ \to \ \ 3x^2-5x+4$

Ответ:  нет решений . .

$d)\ \ x^2+4x+10\geq 0\ \ ,\ \ D/4=-60\ \ \to \\\\x\in (-\infty \ ;\, +\infty \, )$

Ответ:  бесчисленное множество решений .

Answer 2

Для решения неравенств, сначала нужно найти корни квадратных уравнений, которые соответствуют неравенствам, и определить интервалы, на которых неравенства выполняются. Затем можно проверить значения функций на этих интервалах.

а) x^2 - 7x + 6 > 0

Сначала найдем корни уравнения x^2 - 7x + 6 = 0: (x - 6)(x - 1) = 0 Отсюда получаем два корня: x = 6 и x = 1.

Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется:

1. x < 1
2. 1 < x < 6
3. x > 6

Для проверки выберем точку в каждом интервале:

1. Если x < 1, то x^2 - 7x + 6 > 0 будет выполняться (например, x = 0).
2. Если 1 < x < 6, то x^2 - 7x + 6 > 0 также будет выполняться (например, x = 2).
3. Если x > 6, то x^2 - 7x + 6 > 0 также будет выполняться (например, x = 7).

Итак, неравенство x^2 - 7x + 6 > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, 1) и (6, +бесконечность).

б) -5x^2 + 2x + 3 > 0

Сначала найдем корни уравнения -5x^2 + 2x + 3 = 0: Для этого можно воспользоваться квадратным уравнением: D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-5)(3) = 4 + 60 = 64 x = (-2 ± √64) / (2 * (-5)) = (-2 ± 8) / (-10)

Получаем два корня: x = 1 и x = -0.5.

Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется:

1. x < -0.5
2. -0.5 < x < 1
3. x > 1

Для проверки выберем точку в каждом интервале:

1. Если x < -0.5, то -5x^2 + 2x + 3 > 0 будет выполняться (например, x = -1).
2. Если -0.5 < x < 1, то -5x^2 + 2x + 3 также будет выполняться (например, x = 0).
3. Если x > 1, то -5x^2 + 2x + 3 также будет выполняться (например, x = 2).

Итак, неравенство -5x^2 + 2x + 3 > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -0.5) и (1, +бесконечность).

в) -3x^2 + 5x - 4 > 0

Сначала найдем корни уравнения -3x^2 + 5x - 4 = 0: Для этого можно воспользоваться квадратным уравнением: D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-3)(-4) = 25 - 48 = -23

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, оно не пересекает ось x.

Таким образом, неравенство -3x^2 + 5x - 4 > 0 выполняется на всей числовой прямой.

г) x^2 + 4x + 10 ≥ 0

Сначала найдем корни уравнения x^2 + 4x + 10 = 0: Для этого можно воспользоваться квадратным уравнением: D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(10) = 16 - 40 = -24

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, оно не пересекает ось x.

Таким образом, неравенство x^2 + 4x + 10 ≥ 0 выполняется на всей числовой прямой.

Итак, для данных неравенств: а) x^2 - 7x + 6 > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, 1) и (6, +бесконечность). б) -5x^2 + 2x + 3 > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность, -0.5) и (1, +бесконечность). в) -3x^2 + 5x - 4 > 0 выполняется на всей числовой прямой. г) x^2 + 4x + 10 ≥ 0 выполняется на всей числовой прямой.