Question

Доведіть, що при будь-яких значеннях зміннихх? + y2 - 2(x +4y) + 17 > 0.​

Answer 1

Смотри.................

Answer 2

Для доведення нерівності $x^2 + y^2 - 2(x + 4y) + 17 > 0$ для будь-яких значень $x$ та $y$, можна використати метод завершення квадрату.

Розглянемо вираз $x^2 - 2x + 1$ і $y^2 - 8y + 16$, обидва з них можна представити як квадрати виразів $x - 1$ та $y - 4$ відповідно.

Застосуємо цей метод до даної нерівності:

$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17 = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) - 1$

$= (x - 1)^2 + (y - 4)^2 - 1$

Отже, ми отримали суму квадратів $x - 1$ та $y - 4$ з відніманням константи 1.

Згідно з властивостями квадратів, сума двох квадратів завжди буде невід'ємною, тобто $(x - 1)^2 + (y - 4)^2 \geq 0$.

Таким чином, можна стверджувати, що $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17 > 0$ для будь-яких значень $x$ та $y$.