Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции y = 1 - 4/4x-1

Answer 1

Ответ:

$y=1-\dfrac{4}{4x-1}\ \ ,\ \ \ \ \ OOF:\ x\ne \dfrac{1}{4}\ \ ,\\\\\\y'=\dfrac{4\cdot 4}{(4x-1)^2} \ne 0\ \ ,\ \ \ x\ne 0,25\\\\\\znaki\ y'(x):\ \ \ +++(0,25)+++\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \nearrow \ \ \ (0,25)\ \ \nearrow \\\\\\y(x)\ vozrastaet\ \ pri\ \ x\in (-\infty ;\ 0,25\ )\cup (\ 0,25\ ;+\infty \, )$

Промежутков убывания нет. Функция всюду на ООФ возрастает .

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y = 1 - 4/(4x - 1), нужно проанализировать производную функции. Давайте найдем производную и выясним, где она положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает):

1. Найдем производную функции y: y = 1 - 4/(4x - 1)

   y' = d/dx [1 - 4/(4x - 1)]

   Используем правило дифференцирования дробей:

   y' = 0 - (-4) * d/dx (4x - 1)^(-1)

   y' = 4/(4x - 1)^2

2. Теперь определим, где производная положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает):

   Для этого равенство производной нулю будет точкой перегиба (где функция может менять свой характер роста/убывания). Решим уравнение:

   4/(4x - 1)^2 = 0

   Это уравнение не имеет действительных корней, так как 4 никогда не равно нулю.

   Теперь возьмем произвольную точку справа и слева от этой точки перегиба:

   • Выберем точку x < 1/4 (например, x = 0), и подставим ее в производную: y'(0) = 4/(4*0 - 1)^2 = 4/(-1)^2 = 4 > 0

   • Теперь выберем точку x > 1/4 (например, x = 1), и подставим ее в производную: y'(1) = 4/(4*1 - 1)^2 = 4/(4 - 1)^2 = 4/9 > 0

   Таким образом, производная положительна как слева, так и справа от точки x = 1/4.

Итак, функция y = 1 - 4/(4x - 1) возрастает на всей числовой прямой, так как её производная положительна повсюду.