Question

(x+3)^2+16=2|x+3|(|x-6|-|x-2) помогите решить)

Answer 1

Ответ:

$x=-7; x=1$

Объяснение:

$(x+3)^2+16=2|x+3|(|x-6|-|x-2|)$  

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого прибавим к обеим частям уравнения выражение $(|x-6|-|x-2|)^2$ и перенесем слагаемое $2\cdot |x+3|\cdot (|x-6|-|x-2|)$ в левую часть:

$|x+3|^2-2\cdot |x+3|\cdot (|x-6|-|x-2|)+(|x-6|-|x-2|)^2=(|x-6|-|x-2|)^2-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=(|x-6|-|x-2|)^2-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=x^2-12x+36-2(|x-6|\cdot |x-2|)+x^2-4x+4-16\\ (|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=(2x^2-16x+24)-|2x^2-16x+24|\;\;\:\;\:\;\:\;(1)$

1) $2x^2-16x+24< 0\Leftrightarrow 2< x< 6$

Тогда $(1)$ примет вид

$(|x+3|-(|x-6|-|x-2|))^2=2\cdot (2x^2-16x+24)$

Левая часть неотрицательна. Правая часть, учитывая рассматриваемый интервал, строго отрицательна. Значит, корней на данном интервале нет.

2) $2x^2-16x+24\geq 0$

Возможны 2 случая:

2.1) $x\leq 2$

Тогда $(1)$ примет вид

$(|x+3|-(6-x-2+x))^2=0\\ (|x+3|-4)^2=0\\ |x+3|=4\\ x=1\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:\;\:x=-7$

Оба корня принадлежат рассматриваемому интервалу, а значит являются корнями исходного уравнения.

2.2) $x\geq 6$

Тогда $(1)$ примет вид

$(x+3-(x-6-x+2))^2=0\\ (x+7)^2=0\\ x+7=0\\ x=-7$

То есть корень не принадлежит рассматриваемому интервалу.

Answer 2

______|______|______|______

          - 3            2           6

$1)x$

$2) \ -3\leq x$

$3) \ 2\leq x$

$4) \ x\geq6 \\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot[x-6-(x-2)]\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(x-6-x+2)\\\\(x+3)^{2}+16=2\cdot(x+3)\cdot(-4)\\\\x^{2}+6x+9+16=-8x-24\\\\x^{2} +14x+49=0\\\\(x+7)^{2}=0 \\\\x+7=0\\\\x=-7$

Answer 3

Давайте рассмотрим данное уравнение и решим его по шагам. Уравнение имеет следующий вид:

$(x+3)^2 + 16 = 2 |x+3| \cdot (|x-6| - |x-2)$

Для начала, заметим, что $|x+3|$ в левой части уравнения можно представить как $\sqrt{(x+3)^2}$, так как модуль открывает корень квадрата. Таким образом, уравнение становится:

$(x+3)^2 + 16 = 2 \cdot \sqrt{(x+3)^2} \cdot (|x-6| - |x-2)$

Теперь давайте упростим уравнение, разделив обе стороны на $\sqrt{(x+3)^2}$:

$\frac{(x+3)^2 + 16}{\sqrt{(x+3)^2}} = 2 \cdot (|x-6| - |x-2)$

Далее, заметим, что $\sqrt{(x+3)^2}$ равно $(x+3)$ или $-(x+3)$, в зависимости от знака $x+3$. Таким образом, мы должны рассмотреть два случая:

1. Если $x+3$ положительно, то $\sqrt{(x+3)^2} = x+3$.
2. Если $x+3$ отрицательно, то $\sqrt{(x+3)^2} = -(x+3)$.

Сначала рассмотрим первый случай:

1. Если $x+3 > 0$, то $\sqrt{(x+3)^2} = x+3$. Уравнение становится:

$(x+3) + 16 = 2 \cdot (|x-6| - |x-2)$

Упростим это уравнение:

$x + 19 = 2 \cdot (|x-6| - |x-2)$

Теперь рассмотрим второй случай:

2. Если $x+3 < 0$, то $\sqrt{(x+3)^2} = -(x+3)$. Уравнение становится:

$-(x+3) + 16 = 2 \cdot (|x-6| - |x-2)$

Упростим это уравнение:

$16 - (x+3) = 2 \cdot (|x-6| - |x-2)$

Теперь у нас есть два уравнения для двух случаев. Давайте рассмотрим их по отдельности.

Первый случай:

$x + 19 = 2 \cdot (|x-6| - |x-2)$

Рассмотрим модули отдельно:

1. Если $x \geq 6$, то $|x-6| = x-6$.
2. Если $x < 6$ и $x \geq 2$, то $|x-6| = 6-x$.
3. Если $x < 2$, то $|x-6| = 6-x$.

Аналогично рассмотрим модули во втором уравнении:

1. Если $x \geq 2$, то $$ 0 0

Answer 4

Давайте попробуем решить данное уравнение шаг за шагом. Начнем с его упрощения:

1. Раскроем квадрат в левой части уравнения:

(x + 3)^2 + 16 = 2 * |x + 3| * (|x - 6| - |x - 2)

x^2 + 6x + 9 + 16 = 2 * |x + 3| * (|x - 6| - |x - 2)

x^2 + 6x + 25 = 2 * |x + 3| * (|x - 6| - |x - 2)

2. Теперь рассмотрим два случая, когда выражение внутри модулей будет положительным и когда оно будет отрицательным.

Первый случай: x + 3 >= 0

Тогда |x + 3| = x + 3.

Также, если x >= 6, то |x - 6| = x - 6, и |x - 2| = x - 2.

Теперь у нас есть следующее уравнение:

x^2 + 6x + 25 = 2 * (x + 3) * (x - 6 - x + 2)

x^2 + 6x + 25 = 2 * (x + 3) * (-4)

x^2 + 6x + 25 = -8 * (x + 3)

x^2 + 6x + 25 = -8x - 24

x^2 + 6x + 25 + 8x + 24 = 0

x^2 + 14x + 49 = 0

(x + 7)^2 = 0

x + 7 = 0

x = -7

Второй случай: x + 3 < 0

Тогда |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3.

Если x < 6, то |x - 6| = -(x - 6) = 6 - x, и |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x.

Теперь у нас есть следующее уравнение:

x^2 + 6x + 25 = 2 * (-x - 3) * (6 - x - 2 + x)

x^2 + 6x + 25 = -2 * (x + 3) * 4

x^2 + 6x + 25 = -8 * (x + 3)

x^2 + 6x + 25 = -8x - 24

x^2 + 6x + 25 + 8x + 24 = 0

x^2 + 14x + 49 = 0

(x + 7)^2 = 0

x + 7 = 0

x = -7

Итак, мы получили одинаковое значение x = -7 для обоих случаев. Это единственный корень уравнения.