Question

При каких значениях параметра а уравнение ОДНО решение? (1-1/х)(√х-а)=0

Answer 1

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.

$\displaystyle\left[\begin{array}{ccc}1-\frac{1}{x}=0, &x\neq 0, \\\sqrt{x}-a=0; \\\end{array}$

$\displaystyle\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{x}=1,\hfill\\\sqrt{x}=a;\hfill \\\end{array}$

$\displaystyle\left[\begin{array}{ccc}x=1,\hfill\\x=a^2.\hfill\\\end{array}$

В данном случае получается, что уравнение имеет два корня: х и а². Чтобы оно имело лишь один, нужно эти корни приравнять:

$a^{2} = 1;$

$a=\pm1.$

Ответ: при а=±1 уравнение имеет единственное решение.

Answer 2

Уравнение (1-1/x)(√x-a)=0 имеет одно решение при следующих значениях параметра а:

1. Если а = 0, то уравнение принимает вид (1-1/x)(√x-0)=0, что эквивалентно уравнению (1-1/x)(√x)=0. Решение этого уравнения будет x=1. Таким образом, при а = 0 уравнение имеет одно решение x=1.

2. Если a ≠ 0, то уравнение (1-1/x)(√x-a)=0 будет иметь одно решение при значении x, при котором один из множителей равен нулю. То есть, если (1-1/x)=0, тогда x=1; если (√x-a)=0, тогда x=a^2. Таким образом, при значениях параметра а, равных нулю или квадрату числа, уравнение имеет одно решение.

Таким образом, уравнение (1-1/x)(√x-a)=0 имеет одно решение при значениях параметра а, равных нулю или квадрату числа.