Question

Докажите неравенство: (a+c)/(b+c)< a/b , если a>0, b>0, c>0, a>b

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

b<c⇒bc<ac⇒ab+bc<ab+ac⇒b(a+c)<a(b+c)⇒(a+c)/(b+c)< a/b

Answer 2

Чтобы доказать данное неравенство, необходимо рассмотреть различные случаи относительного значения a и b. При этом будем предполагать, что a > b, так как в противном случае неравенство автоматически выполняется.

Когда a > b, возможны два случая: b > c и b < c.

Случай 1: b > c

В этом случае оба выражения в неравенстве положительны, поэтому можно записать:

(a + c)/(b + c) < a/b

Раскроем скобки:

(a + c)b < (b + c)a

ab + cb < ab + ac

cb < ac

Так как c > 0 и a > b > 0, то cb < ac выполняется.

Случай 2: b < c

Теперь существует возможность того, что выражения в неравенстве могут быть отрицательными. Поэтому для полного доказательства придется рассмотреть более подробные случаи.

Случай 2.1: a + c > 0 и b + c > 0 (оба числителя и оба знаменателя положительны)

(a + c)/(b + c) < a/b

Раскроем скобки:

(a + c)b < (b + c)a

ab + cb < ab + ac

cb < ac

Так как c > 0 и a > b > 0, то cb < ac выполняется.

Случай 2.2: a + c < 0 и b + c < 0 (оба числителя и оба знаменателя отрицательны)

Так как все числа положительные, данный случай нас не интересует, так как он не подходит под условия задачи.

Случай 2.3: a + c > 0 и b + c < 0 (числитель положительный, знаменатель отрицательный)

(a + c)/(b + c) < a/b

(a + c)b > (b + c)a

ab + cb > ab + ac

cb > ac

В этом случае неравенство не выполняется, так как cb > ac.

Случай 2.4: a + c < 0 и b + c > 0 (числитель отрицательный, знаменатель положительный)

(a + c)/(b + c) < a/b

(a + c)b > (b + c)a

ab + cb > ab + ac

cb > ac

В этом случае неравенство не выполняется, так как cb > ac.

Итак, получается, что неравенство (a + c)/(b + c) < a/b выполняется только в случае a > b и b > c.