Question

Вычислите сумму 1/1*3 + 1/2*4 + 1/3*5 + ... + 1/98*100

Answer 1

1/n*(n + 2) = 1/2*(n + 2 - n)/n(n+2) = 1/2*(1/n - 1/(n + 2))

1/1*3 + 1/2*4 + 1/3*5 + ...+ 1/97*99 + 1/98*100 =

= 1/2*(1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + 1/4 - 1/6 + ..... + 1/95 - 1/97 + 1/96 - 1/98 + 1/97 - 1/99 + 1/98 - 1/100) = 1/2*(1 + 1/2 - 1/99 - 1/100) =  

1/2*(9900 +  4950 - 100 - 99)/9900 = 1/2*14651/9900 = 14651/19800

Answer 2

Чтобы вычислить данную сумму, нужно сложить все слагаемые. Найдем формулу общего члена этой последовательности для упрощения вычислений.

Рассмотрим n-ый элемент данной последовательности: а_n = 1/n * (2 + n). Используя эту формулу, мы можем записать все слагаемые:

a_1 = 1/1 * (2 + 1) = 3 a_2 = 1/2 * (2 + 2) = 2 a_3 = 1/3 * (2 + 3) = 5 a_4 = 1/4 * (2 + 4) = 3 ... a_97 = 1/97 * (2 + 97) = 99

Таким образом, сумма всех слагаемых будет:

S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_97 + a_98 + a_99 + a_100

Мы можем заметить, что множители перед суммой (1/1, 1/2, 1/3, ..., 1/97) образуют гармоническую прогрессию. Известно, что сумма первых n членов гармонической прогрессии равна:

S_h = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = H_n,

где H_n - n-ое гармоническое число.

Таким образом, нам нужно найти сумму первых 100 гармонических чисел:

H_100 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/97 + 1/98 + 1/99 + 1/100.

Сумма гармонических чисел H_100 является приближенно равной 5.19, что можно найти с помощью математических таблиц или программ для численного интегрирования.

Таким образом, сумма данной последовательности равна примерно 5.19 * (2 + 3 + ... + 99).

Для вычисления суммы арифметической прогрессии (2 + 3 + ... + 99), мы можем использовать формулу:

S_a = (a_1 + a_n) * n / 2,

где a_1 - первый член прогрессии, a_n - n-ый член прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Применяя эту формулу:

S_a = (2 + 99) * 98 / 2 = 101 * 49 = 4949.

Итак, сумма данной последовательности равна примерно 5.19 * 4949 = 25619.31 (округленное значение).

Answer 3

Для вычисления суммы ряда, который вы представили, мы можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей гармонической прогрессии.

Сумма гармонической прогрессии до n-го элемента вычисляется по формуле:

S_n = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

В вашем случае, вам нужно вычислить сумму следующего ряда:

1/1 * 3 + 1/2 * 4 + 1/3 * 5 + ... + 1/98 * 100

Чтобы упростить вычисления, мы можем вынести общий множитель 1/1, 1/2, 1/3, ..., 1/98 за скобки:

1/1 * (3 + 1/2 * 4 + 1/3 * 5 + ... + 1/98 * 100)

Теперь нам нужно вычислить сумму в скобках. Мы можем представить это как сумму двух рядов:

3 + 1/2 * 4 + 1/3 * 5 + ... + 1/98 * 100

Для расчета этой суммы, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

S_n = (a_1 + a_n) * n / 2

где a_1 - первый член последовательности, a_n - последний член последовательности, n - количество членов последовательности.

В нашем случае, a_1 = 3, a_n = 1/98 * 100, n = 98.

Теперь мы можем вычислить сумму в скобках:

S = (3 + 1/98 * 100) * 98 / 2

Вычислив это, мы получаем:

S = (3 + 100/98) * 98 / 2

S = (3 + 50/49) * 98 / 2

S = (147 + 50) / 49

S = 197/49

S = 4

Таким образом, сумма ряда 1/1 * 3 + 1/2 * 4 + 1/3 * 5 + ... + 1/98 * 100 равна 4.