Question

Доказать, что когда а+б+с=0, то а³+б³+с³=3абс

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1-метод

Воспользуемся неравенством :

$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$  оно верно при всех положительных  a ; b ; c   и равенство выполняется только в том случае когда a=b=c

В нашем случае :

$a^3+b^3+c^3=3abc => a=b=c =0$

2-метод

$a^3+b^3+c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3$

$\boxed{a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab}$

$a+b+c=0 \\\\\boxed{a+b=-c}$

$a^3+b^3+c^3=\underbrace {(a+b)}_{-c}(\underbrace{(a+b)^2}}_{c^2}- 3ab )+c^3 \\\\a^3+b^3+c^3=-c(c^2-3ab )+c^3 \\\\ a^3+b^3+c^3=-c^3\!\!\!\!/+3abc +c^3\!\!\!\!/\\\\\boldsymbol {a^3+b^3+c^3= 3abc }$

Answer 2

Когда a + b + c = 0, мы можем выразить c через a и b:

c = -a - b

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу a³ + b³ + c³:

a³ + b³ + (-a - b)³

Раскроем скобки:

a³ + b³ + (-a - b)(-a - b)(-a - b)

(-a - b)(-a - b) = a² + 2ab + b²

Теперь подставим это выражение обратно в формулу:

a³ + b³ + (a² + 2ab + b²)(-a - b)

a³ + b³ + (-a³ - 2a²b - ab² - a²b - 2ab² - b³)

Теперь приведем подобные слагаемые:

a³ + b³ - a³ - b³ - 2a²b - ab² - a²b - 2ab²

Теперь уберем подобные слагаемые:

- 2a²b - ab² - a²b - 2ab²

Теперь вынесем общий множитель:

- ab(2a + b + a + 2b)

Сложим коэффициенты при a и b:

- ab(3a + 3b)

Теперь вынесем общий множитель:

- 3ab(a + b)

Таким образом, мы доказали, что когда a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3ab(-a - b), что равно 3abс.