Question

Упростить выражение: sin⁴α + cos⁴α - cos⁶α - sin⁶α

Answer 1

sin² α + cos² α = 1

sin 2α = 2*sin α * cos α

sin⁴α + cos⁴α - sin⁶α - cos⁶α =

= sin⁴α*(1 - sin²α) + cos⁴α*(1 - cos²α)  

= sin⁴α*cos²α + cos⁴α*sin²α

= sin²α*cos²α*(sin²α + cos²α)

= sin²α*cos²α

= sin² 2α / 4

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin^2α + cos^2α = 1 sin^2α = 1 - cos^2α cos^2α = 1 - sin^2α

Теперь заменим sin^4α и cos^4α в исходном выражении: (1 - cos^2α)^2 + cos^4α - cos^6α - (1 - sin^2α)^3

Раскроем скобки и упростим: 1 - 2cos^2α + cos^4α + cos^4α - cos^6α - 1 + 3sin^2α - 3sin^4α + sin^6α

Теперь объединим подобные слагаемые: 2cos^4α - 2cos^6α - 3sin^4α + sin^6α + 3sin^2α - 2cos^2α

Таким образом, упрощенное выражение равно: 2cos^4α - 2cos^6α - 3sin^4α + sin^6α + 3sin^2α - 2cos^2α