Question

Упростить выражение:(cos2α-cos6α+cos10α-cos14α)/(sin2α+sin6α+sin10α+sin14α)

Answer 1

(cos1a-cos3a+cos5a-cos7a)/(sin1a+sin3a+sin5a+sin7a)

Answer 2

=(2sin4asin2a+2sin12asin2a)/(2sin4acos2a+2sin12acos2a)
=sin2a/cos2a
=tan2a

Answer 3

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулами для тригонометрических идентичностей, а именно формулами суммы и разности. Давайте применим эти формулы по очереди для каждого из слагаемых в числителе и знаменателе выражения.

Начнем с числителя: cos2α - cos6α + cos10α - cos14α

Мы можем применить формулу суммы и разности для косинуса: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Применим формулы к каждому слагаемому: cos2α = cos(α + α) = cos(α)cos(α) - sin(α)sin(α) cos6α = cos(5α + α) = cos(5α)cos(α) - sin(5α)sin(α) cos10α = cos(9α + α) = cos(9α)cos(α) - sin(9α)sin(α) cos14α = cos(13α + α) = cos(13α)cos(α) - sin(13α)sin(α)

Подставим эти значения обратно в исходное выражение: (cos(α)cos(α) - sin(α)sin(α)) - (cos(5α)cos(α) - sin(5α)sin(α)) + (cos(9α)cos(α) - sin(9α)sin(α)) - (cos(13α)cos(α) - sin(13α)sin(α))

Теперь давайте упростим знаменатель: sin2α + sin6α + sin10α + sin14α

Мы можем применить аналогичную формулу суммы и разности для синуса: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Применим формулы к каждому слагаемому: sin2α = sin(α + α) = sin(α)cos(α) + cos(α)sin(α) sin6α = sin(5α + α) = sin(5α)cos(α) + cos(5α)sin(α) sin10α = sin(9α + α) = sin(9α)cos(α) + cos(9α)sin(α) sin14α = sin(13α + α) = sin(13α)cos(α) + cos(13α)sin(α)

Подставим эти значения обратно в исходное выражение: (sin(α)cos(α) + cos(α)sin(α)) + (sin(5α)cos(α) + cos(5α)sin(α)) + (sin(9α)cos(α) + cos(9α)sin(α)) + (sin(13α)cos(α) + cos(13α)sin(α))

Теперь упростим числитель и знаменатель выражения: (cos(α)cos(α) - sin(α)sin(α)) - (cos(5α)cos(α) - sin(5α)sin(α)) + (cos(9α)cos(α) - sin(9α)sin(α)) - (cos(13α)cos(α) - sin(13α)sin(α)) = cos(α)cos(α) - sin(α)sin(α) - cos(5α)cos(α) + sin(5α)sin(α) + cos(9α)cos(α) - sin(9α)sin(α) - cos(13α)cos(α) + sin(13α)sin(α)

(sin(α)cos(α) + cos(α)sin(α)) + (sin(5α)cos(α) + cos(5α)sin(α)) + (sin(9α)cos(α) + cos(9α)sin(α)) + (sin(13α)cos(α) + cos(13α)sin(α)) = sin(α)cos(α) + cos(α)sin(α) + sin(5α)cos(α) + cos(5α)sin(α) + sin(9α)cos(α) + cos(9α)sin(α) + sin(13α)cos(α) + cos(13α)sin(α)

Приведение подобных слагаемых:

В числителе: cos(α)cos(α) - cos(5α)cos(α) + cos(9α)cos(α) - cos(13α)cos(α) = (cos(α) - cos(5α) + cos(9α) - cos(13α))cos(α) sin(α)sin(α) - sin(5α)sin(α) + sin(9α)sin(α) - sin(13α)sin(α) = (sin(α) - sin(5α) + sin(9α) - sin(13α))sin(α)

В знаменателе: sin(α)cos(α) + sin(5α)cos(α) + sin(9α)cos(α) + sin(13α)cos(α) = (sin(α) + sin(5α) + sin(9α) + sin(13α))cos(α) cos(α)sin(α) + cos(5α)sin(α) + cos(9α)sin(α) + cos(13α)sin(α) = (cos(α) + cos(5α) + cos(9α) + cos(13α))sin(α)

Подставим приведенные выражения обратно в исходное уравнение: ((cos(α) - cos(5α) + cos(9α) - cos(13α))cos(α))/((sin(α) + sin(5α) + sin(9α) + sin(13α))cos(α)) = (cos(α) - cos(5α) + cos(9α) - cos(13α))/(sin(α) + sin(5α) + sin(9α) + sin(13α))

Таким образом, упрощенное выражение равно (cos(α) - cos(5α) + cos(9α) - cos(13α))/(sin(α) + sin(5α) + sin(9α) + sin(13α)).

Answer 4

Давайте вначале преобразуем числитель и знаменатель выражения, чтобы упростить его. Мы можем использовать формулы тригонометрии, чтобы переписать cos и sin через более простые выражения.

Для числителя: cos(2α) - cos(6α) + cos(10α) - cos(14α)

Мы можем использовать формулу разности косинусов, чтобы переписать это выражение: -2sin((2α+6α)/2)sin((2α-6α)/2) + 2sin((10α+14α)/2)sin((10α-14α)/2)

Простое сокращение позволяет нам записать это как: -2sin(4α)sin(-2α) + 2sin(12α)sin(-2α)

Для знаменателя: sin(2α) + sin(6α) + sin(10α) + sin(14α)

Используя формулу суммы синусов, мы можем записать это как: 2sin((2α+6α)/2)cos((2α-6α)/2) + 2sin((10α+14α)/2)cos((10α-14α)/2)

Простое сокращение позволяет нам записать это как: 2sin(4α)cos(-2α) + 2sin(12α)cos(-2α)

Теперь у нас есть следующее упрощенное выражение: (-2sin(4α)sin(-2α) + 2sin(12α)sin(-2α)) / (2sin(4α)cos(-2α) + 2sin(12α)cos(-2α))

Мы видим, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 2sin(-2α), поэтому мы можем сократить его: (-2sin(4α)sin(-2α) + 2sin(12α)sin(-2α)) / (2sin(4α)cos(-2α) + 2sin(12α)cos(-2α)) = (-sin(4α) + sin(12α)) / (sin(4α)cos(-2α) + sin(12α)cos(-2α))

Теперь мы можем использовать формулы синуса и косинуса отрицательного аргумента: sin(-x) = -sin(x) cos(-x) = cos(x)

(-sin(4α) + sin(12α)) / (sin(4α)cos(-2α) + sin(12α)cos(-2α)) = (-sin(4α) + sin(12α)) / (sin(4α)cos(2α) + sin(12α)cos(2α))

Мы упростили данное выражение, и это окончательный ответ.