Question

Обозначим через S(n) сумму всех цифр десятичной записи натурального числа n. Вычислите S(1000) + S(1001) + ... + S(2021).

Answer 1

Ответ: 14649

Объяснение:

Попробуем вывести формулу, которая вычисляет сумму:

X(n) = S(0) + S(1) +S(2)+...+S(10^n-1) - сумма всех цифр в числах до последнего n- значного числа.

Определим количество цифр 1-9, что попадутся в числах от 1 до 10^n -1.

Для удобства будем вести запись таких чисел с нулями в начале:

000...0, 000...1, 000..2,..., 000...10,..., 999...9

Число цифр в каждом числе равно n, то есть общее количество цифр равно: n*10^n, но поскольку ясно, что при такой форме записи чисел количества цифр 0-9 будут одинаковыми, то количество цифр 0-9 равно:

n*10^n/10 = n*10^(n-1)

Иначе говоря, любая из цифр 1-9 будет встречаться ровно n*10^(n-1) раз в числах от 1 до 10^n-1 (при стандартной записи чисел)

Сумма всех 10 цифр равна: 0+1+2+3+...+9 = 9*10/2 = 45

Тогда с учетом повторяемости каждой цифры имеем:

X(n) =  45n*10^(n-1)

Откуда:

S(1000) + S(1001) + ... + S(1999) = 1*1000 + S(0) + S(1) + S(2) +...+S(999) =

= 1000 + X(3) = 1000 + 45 * 300 = 1000 + 13500 = 14500

S(2000) + S(2001) +...+S(2021) = 2 * 22  + S(0) + S(1) + S(2) +...+S(19) + (S(20) +S(21) ) =2*22 + (S(0) + S(1)+...+S(9) ) + (S(10) + S(11) +...S(19) )  + 5 =

= 2*22 + 2*45 + 10*1 + 5 = 44 + 90 + 15 = 149

Тогда:

S(1000) + S(1001) + ... + S(2021) = 14500 + 149 = 14649

       

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо вычислить сумму цифр каждого числа от 1000 до 2021. Мы можем использовать математический подход, чтобы упростить вычисления.

Чтобы вычислить сумму цифр числа, мы можем использовать деление нацело и остаток от деления. Давайте разберемся пошагово:

1. Разделим число нацело на 10 и запишем остаток от деления как первую цифру суммы S(n). 2. Затем разделим полученное частное нацело на 10 и запишем остаток от деления как вторую цифру суммы S(n). 3. Продолжим этот процесс до тех пор, пока частное не станет равным 0. Каждый раз, когда мы получаем остаток от деления, мы добавляем его к сумме S(n).

Давайте применим этот подход для вычисления суммы цифр чисел от 1000 до 2021:

Вычисление S(1000):

Первое число - 1000.

1000 поделить нацело на 10 даёт 100 в частном и 0 в остатке. 0 будет первой цифрой суммы S(1000).

Вычисление S(1001):

Второе число - 1001.

1001 поделить нацело на 10 даёт 100 в частном и 1 в остатке. 1 будет второй цифрой суммы S(1001).

Продолжим этот процесс для чисел от 1002 до 2021:

1002: 1002 поделить нацело на 10 даёт 100 в частном и 2 в остатке. 2 будет третьей цифрой суммы S(1002).

1003: 1003 поделить нацело на 10 даёт 100 в частном и 3 в остатке. 3 будет четвертой цифрой суммы S(1003).

...

2021: 2021 поделить нацело на 10 даёт 202 в частном и 1 в остатке. 1 будет 222-й цифрой суммы S(2021).

Теперь, чтобы получить сумму всех этих цифр, мы просто складываем их:

S(1000) + S(1001) + ... + S(2021) = 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 1 = 1 + 2 + 3 + ... + 1 = 1 + 2 + 3 + ... + 1 + 1.

Мы видим, что все числа от 1 до 2021 встречаются в этой сумме. Чтобы вычислить сумму от 1 до n, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии:

Сумма = (первый элемент + последний элемент) * количество элементов / 2.

Применяя эту формулу к нашей сумме, получаем:

S(1000) + S(1001) + ... + S(2021) = (1 + 2021) * 2021 / 2 = 2022 * 2021 / 2 = 2042241.

Таким образом, сумма S(1000) + S(1001) + ... + S(2021) равна 2042241.

Answer 3

Обозначим сумму цифр числа n как s(n). Заметим, что s(n) зависит только от суммы цифр числа n по модулю 9. Это связано с тем, что любое натуральное число n имеет ту же сумму цифр по модулю 9, что и сумма его цифр.

Заметим также, что сумма цифр натурального числа n (s(n)) равна остатку от деления n-1 на 9, плюс 1. То есть s(n) ≡ (n-1) mod 9 + 1.

Теперь посмотрим на числа от 1000 до 2021. Мы хотим найти сумму s(1000) + s(1001) + ... + s(2021).

Для каждого числа n, где 1000 ≤ n ≤ 2021, мы можем найти его остаток от деления на 9 и прибавить 1. На это коротком отрезке 1000 ≤ n ≤ 2021, остатки от деления на 9 следуют последовательно от 1 до 2, затем снова до 1, затем 2 и так далее. Таким образом, сумма s(1000) + s(1001) + ... + s(2021) будет равна количеству чисел на этом отрезке, которые дают остаток 1 при делении на 9, умноженному на 2 (так как после каждой серии чисел, дающих остаток 1, следует серия чисел, дающих остаток 2).

Посчитаем, сколько чисел на отрезке 1000 ≤ n ≤ 2021 дают остаток 1 при делении на 9. Их количество можно найти как разность между округленным вверх значением 2021/9 и округленным вниз значением 1000/9.

Округленное вверх значение 2021/9 равно 225, а округленное вниз значение 1000/9 равно 111. Таким образом, количество чисел, дающих остаток 1 при делении на 9, равно 225 - 111 = 114.

Итак, сумма s(1000) + s(1001) + ... + s(2021) равна 114 * 2 = 228.