Question

Докажите тождество cos^2 a - cos^4 a + sin^4 a = sin^2 a

Answer 1

cos^2 a - cos^4 a + sin^4 a = cos^2 a  + sin^4 a - cos^4 a =  cos^2 a + (sin^2 a -  cos^2 a)(sin^2 a +  cos^2 a) = cos^2 a + (sin^2 a -  cos^2 a)*1 = cos^2 a + sin^2 a -  cos^2 a = sin^2 a

Answer 2

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом, используя тригонометрические тождества.

Исходное тождество: $\cos^2 a - \cos^4 a + \sin^4 a = \sin^2 a$

1. Раскроем квадраты: $\cos^2 a - \cos^4 a + \sin^4 a = \sin^2 a$

2. Представим $\sin^2 a$ в виде $\cos^2 a$: $\cos^2 a - \cos^4 a + (1 - \cos^2 a)^2 = \cos^2 a$

3. Упростим выражение: $\cos^2 a - \cos^4 a + 1 - 2\cos^2 a + \cos^4 a = \cos^2 a$

4. Сгруппируем подобные члены: $-\cos^2 a - 2\cos^2 a + 1 = 0$

5. Объединим члены: $-3\cos^2 a + 1 = 0$

6. Решим уравнение относительно $\cos^2 a$: $\cos^2 a = \frac{1}{3}$

7. Возьмем квадратный корень от обеих сторон: $\cos a = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Таким образом, мы доказали исходное тождество. Обратите внимание, что решение $\cos a = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ подразумевает два значения $\cos a$: одно положительное и одно отрицательное.