Question

Исследование и построение графиков функций y=1x³+2x²+1

Answer 1

Ответ:

Mathvay proqrami yukle

Answer 2

Конечно, я готов помочь с исследованием и построением графика функции \(y = x^3 + 2x^2 + 1\). Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Найти область определения:

Функция \(y = x^3 + 2x^2 + 1\) определена для всех реальных значений \(x\), так что ее область определения - это \((- \infty, +\infty)\).

2. Найти интервалы возрастания и убывания:

Для этого найдем производную функции и решим уравнение \(f'(x) = 0\).

\[f(x) = x^3 + 2x^2 + 1\]

\[f'(x) = 3x^2 + 4x\]

Уравнение \(f'(x) = 0\) решается следующим образом:

\[3x^2 + 4x = 0\]

\[x(3x + 4) = 0\]

Таким образом, у нас два корня: \(x = 0\) и \(x = -4/3\).

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

\[ \begin{array}{c|ccc|c} & -\infty & -\frac{4}{3} & 0 & +\infty \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & + \\ \end{array} \]

Отсюда видно, что функция возрастает на интервалах \((- \infty, -\frac{4}{3})\) и \((0, +\infty)\) и убывает на интервале \((-\frac{4}{3}, 0)\).

3. Найти экстремумы:

Экстремумы функции находятся в точках, где \(f'(x) = 0\). У нас есть две точки: \(x = 0\) и \(x = -4/3\).

4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости:

Для этого найдем вторую производную функции \(f''(x)\).

\[f''(x) = 6x + 4\]

Теперь определим знаки \(f''(x)\) на интервалах, где производная первого порядка равна нулю:

\[ \begin{array}{c|cc|c} & -\frac{4}{3} & 0 \\ \hline f''(x) & - & + \\ \end{array} \]

Отсюда видно, что на интервале \((- \infty, -\frac{4}{3})\) функция вогнута, на интервале \((- \frac{4}{3}, 0)\) - выпукла, и на интервале \((0, +\infty)\) - тоже выпукла.

5. Найти точки перегиба:

Точки перегиба находятся в тех точках, где \(f''(x) = 0\). Здесь у нас точки перегиба нет, так как \(f''(x)\) не обращается в ноль.

6. Найти пределы:

\[ \lim_{{x \to -\infty}} (x^3 + 2x^2 + 1) = -\infty \] \[ \lim_{{x \to +\infty}} (x^3 + 2x^2 + 1) = +\infty \]

7. Построить график:


Этот график даст вам визуальное представление о поведении функции.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, дайте мне знать.