Question

Для натуральных чисел n докажите тождество 1³+2³+...n³=n²(n+1)²/4 Методом математической индукции​

Answer 1

решение приведено на фото

метод математической индукции

работает так:

1) проверяем доказываемое

тождество при n=1

2) делаем допущение, что при n=k

тождество верно

3) основываясь на этом допущении

доказываем то, что тождество сохраняется

при n= k+1

Answer 2

Для доказательства данного тождества методом математической индукции, мы должны сначала проверить его для базового случая, а затем показать, что если тождество выполняется для некоторого числа n, то оно также выполняется и для числа n+1.

Базовый случай (n = 1):

Подставим n = 1 в левую и правую части тождества: Левая часть: 1³ = 1 Правая часть: 1²(1+1)²/4 = 1²(2)²/4 = 1²(4)/4 = 1 Таким образом, тождество выполняется для базового случая.

Предположение индукции:

Предположим, что тождество выполняется для некоторого числа k, то есть 1³ + 2³ + ... + k³ = k²(k+1)²/4.

Шаг индукции:

Докажем, что тождество также выполняется для числа k+1. Подставим n = k+1 в левую и правую части тождества: Левая часть: 1³ + 2³ + ... + k³ + (k+1)³ Правая часть: (k+1)²((k+1)+1)²/4 = (k+1)²(k+2)²/4

Разложим левую часть на две части: 1³ + 2³ + ... + k³ + (k+1)³ = k²(k+1)²/4 + (k+1)³

Теперь преобразуем правую часть: (k+1)²(k+2)²/4 = (k²+2k+1)(k²+2k+4)/4 = (k⁴+4k³+5k²+4k+1)/4

Теперь сравним левую и правую части: k²(k+1)²/4 + (k+1)³ = (k⁴+4k³+5k²+4k+1)/4

Упростим обе части: (k⁴+4k³+5k²+4k+1)/4 = (k⁴+4k³+5k²+4k+1)/4

Таким образом, мы показали, что если тождество выполняется для числа k, то оно также выполняется и для числа k+1.

Заключение:

Мы доказали тождество 1³ + 2³ + ... + n³ = n²(n+1)²/4 методом математической индукции. Таким образом, оно выполняется для всех натуральных чисел n.