Question

185. Докажите, что прямая x+y+2=0 касается окружности x^2+y^2=2​

Answer 1

• уравнение $x^2+y^2=2$  окружности с центром (0;0)

• радиусом $R=\sqrt{2}$ .

• $x+y+2=0$ - уравнение прямой, которая проходит  через точки

• (0;-2) и  (-2 ; 0 ).

• Точка касания   (-1;-1)  

Answer 2

Чтобы доказать, что прямая `x + y + 2 = 0` касается окружности `x^2 + y^2 = 2`, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите точку пересечения между прямой и окружностью. Если прямая касается окружности, то она должна иметь ровно одну точку пересечения с окружностью.

2. Вычислите угловой коэффициент (наклон) прямой `x + y + 2 = 0`. Уравнение прямой дано в виде `x + y + 2 = 0`. Чтобы найти угловой коэффициент, перепишем это уравнение в стандартной форме `y = mx + b`, где `m` - угловой коэффициент. Выразим `y`:

`y = -x - 2`

Теперь у нас есть `m = -1`, что означает, что угловой коэффициент этой прямой равен -1.

3. Запишите уравнение окружности `x^2 + y^2 = 2` в стандартной форме. В данном случае, радиус окружности равен `sqrt(2)`, так как `r^2 = 2`, где `r` - радиус окружности.

4. Теперь, чтобы найти точку пересечения, подставьте уравнение прямой в уравнение окружности:

`x^2 + (-x - 2)^2 = 2`

Упростите это уравнение:

`x^2 + (x + 2)^2 = 2`

`x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 2`

`2x^2 + 4x + 2 = 0`

5. Решите это уравнение для `x`. Для этого можно использовать дискриминант:

Дискриминант (D) = `b^2 - 4ac`

Где `a = 2`, `b = 4`, и `c = 2`. Подставьте значения:

`D = 4^2 - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0`

Дискриминант равен нулю, что означает, что у нас есть один корень:

`x = -b / (2a) = -4 / (2 * 2) = -1`

6. Теперь, чтобы найти соответствующее значение `y`, подставьте `x` в уравнение прямой:

`y = -x - 2 = -(-1) - 2 = 1 - 2 = -1`

Итак, точка пересечения прямой и окружности - (-1, -1).

7. Чтобы убедиться, что прямая касается окружности, нужно проверить, что расстояние между этой точкой и центром окружности равно радиусу окружности.

Центр окружности (0, 0), так как уравнение окружности вида `x^2 + y^2 = r^2` и в данном случае `r = sqrt(2)`.

Расстояние между точкой (-1, -1) и центром окружности (0, 0):

`sqrt((-1 - 0)^2 + (-1 - 0)^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)`

Радиус окружности `r = sqrt(2)`, и расстояние между точкой и центром окружности тоже равно `sqrt(2)`.

Таким образом, мы видим, что прямая `x + y + 2 = 0` действительно касается окружности `x^2 + y^2 = 2`.