Question

Докажите что функция y=√x возрастает на области определения (не использую производную) с объяснением пожалуйста

Answer 1

ОДЗ x≥0

По определению f(x) возрастает на множестве,   если большему значению аргумента соответствует большее значение функции

пусть x2>x1, тогда рассмотрим y(x2)-y(x1), если разность больше 0, то y(x) возрастает

y(x2)-y(x1)=√x2-√x1=   -домножу на сопряженное и разделю на него же

=(√x2-√x1)(√x2+√x1)/(√x2+√x1)=(x2-x1)/(√x2+√x1)

разность в числителе x2-x1 >0, так как предполагали x2>x1

в знаменателе сумма 2 неотрицательных чисел, одно из которых точно больше 0

Тогда при делении положительного числа на положительное, дробь будет тоже положительна.

Значит y(x2)-y(x1)>0 , а это означает, что у(х) =√х-возрастает на своей ОДЗ

Answer 2

Для доказательства того, что функция y = √x возрастает на своей области определения, мы можем использовать метод сравнения двух точек на этой функции. Функция y = √x определена для x ≥ 0, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не имеет смысла в контексте действительных чисел.

Давайте возьмем две произвольные точки на графике функции y = √x: (x1, √x1) и (x2, √x2), где x1 и x2 - произвольные числа из области определения функции, и x1 < x2, так как мы хотим показать возрастание функции.

Сравним значения функции в этих двух точках:

y1 = √x1 y2 = √x2

Мы видим, что:

√x1 ≤ √x2 (поскольку √x - это неубывающая функция при x ≥ 0)

Таким образом, y1 ≤ y2 для любых x1 и x2 из области определения функции, где x1 < x2. Это означает, что функция y = √x возрастает на своей области определения, так как при увеличении значения x значение функции y также увеличивается.

Это доказывает, что функция y = √x является возрастающей функцией на своей области определения (x ≥ 0) без использования производной.