Question

Вычислить tg^2(3п/4-a), если sin2a = -1/3

Answer 1

Основные формулы:

$\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$

$\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$

$\cos\left(\dfrac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x$

Получим:

$\mathrm{tg}^2\left(\dfrac{3\pi }{4} -a\right)=\dfrac{\sin^2\left(\dfrac{3\pi }{4} -a\right)}{\cos^2\left(\dfrac{3\pi }{4} -a\right)} =$

$=\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{3\pi }{2} -2a\right)}{2}:\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{3\pi }{2} -2a\right)}{2}=\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{3\pi }{2} -2a\right)}{1+\cos\left(\dfrac{3\pi }{2} -2a\right)}=$

$=\dfrac{1+\sin2a}{1-\sin2a}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3} }{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3-1}{3+1} =\dfrac{2}{4} =0.5$

Answer 2

Для начала рассчитаем значение tg^2(3п/4-a) с использованием тригонометрических тождеств. Используем следующие тождества:

tg^2(x) = 1 - cos^2(x) / cos^2(x) sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Таким образом, мы можем выразить cos(a) через sin(2a):

cos(a) = ± √(1 - sin^2(2a))

Так как sin(2a) = -1/3, то:

cos(a) = ± √(1 - (-1/3)^2) = ± √(1 - 1/9) = ± √(8/9) = ± 2/3

Теперь мы можем рассчитать tg^2(3п/4-a):

tg^2(3п/4-a) = 1 - cos^2(3п/4-a) / cos^2(3п/4-a)

Так как cos(3п/4-a) = sin(a), то:

tg^2(3п/4-a) = 1 - sin^2(a) / cos^2(a) = 1 - (-1/3)^2 / (2/3)^2 = 1 - 1/9 / 4/9 = 1 - 1/4 = 3/4

Итак, tg^2(3п/4-a) = 3/4.