Question

Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченой линиями у=х²,у=2-х Даю 70 баллов

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

находим точки пересечений функций у=х² и у=2-х

(1, 1) и (-2, 4)

тогда

S=∫_(-2)^(1) (x²-2+x)dx= 1/3 x³-2x+1/2 x²║_(-2)^(1) =1/3 (-2)³-2(-2)+ 1/2(-2)²-1/3 +2-1/2 +=-8/3+4+2-1/3+2-1/2=7/3+7,5=59/6=9,8(3)

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми \(y = x^2\) и \(y = 2 - x\), нужно вычислить определенный интеграл разности этих функций в пределах их точек пересечения. Первым шагом найдем точки пересечения \(x\), где \(y = x^2\) равно \(2 - x\):

\[ x^2 = 2 - x \]

Это уравнение квадратное, и его можно решить, выражая \(x\) в зависимости от \(y\):

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решив это уравнение, получим два значения \(x\), которые будут точками пересечения кривых.

Далее, чтобы найти пределы интегрирования, нужно определить, где одна функция находится выше другой. Обратите внимание, что если \(x\) принадлежит интервалу пересечения, то \(y\) будет равен максимуму из \(x^2\) и \(2 - x\), и минимуму из этих функций. Таким образом, границы интегрирования будут значениями \(x\), в которых \(x^2\) равно \(2 - x\).

После определения границ интегрирования, площадь криволинейной трапеции будет равна интегралу разности \(y = x^2\) и \(y = 2 - x\) в пределах этих границ:

\[ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} [(2 - x) - x^2] \,dx \]

Где \(a\) и \(b\) - границы интегрирования, найденные выше. Вычислите этот интеграл для получения площади.