Question

Найдите коэффициент при х^3 в биномиальном разложении (1-2x)^4

Answer 1

Ответ:коэффициент при х^3  равен (-32)

Объяснение:(a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴

(1-2x)⁴= 1⁴-  4·1³·(2x)+6 ·1²· (2x)²- 4· 1 · (2x)³+(2x)⁴=    1-8x+24x² -32  x³+16x⁴                                                    

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x^3 в биномиальном разложении (1-2x)^4 нам понадобится использовать формулу бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона представляет собой способ разложения биномиального выражения в степень n, где n - натуральное число. Формула выглядит следующим образом:

(а + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который равен n!/(k!(n-k)!), где ! обозначает факториал.

В нашем случае, у нас есть (1-2x)^4, поэтому a = 1, b = -2x и n = 4. Нам нужно найти коэффициент при x^3, поэтому нам интересуют слагаемые, где степень x равна 3.

Используя формулу бинома Ньютона, мы можем записать разложение следующим образом:

(1-2x)^4 = C(4, 0) * 1^4 * (-2x)^0 + C(4, 1) * 1^3 * (-2x)^1 + C(4, 2) * 1^2 * (-2x)^2 + C(4, 3) * 1^1 * (-2x)^3 + C(4, 4) * 1^0 * (-2x)^4

Разложим каждое слагаемое:

C(4, 0) * 1^4 * (-2x)^0 = 1 * 1 * 1 = 1 C(4, 1) * 1^3 * (-2x)^1 = 4 * 1 * (-2x) = -8x C(4, 2) * 1^2 * (-2x)^2 = 6 * 1 * 4x^2 = 24x^2 C(4, 3) * 1^1 * (-2x)^3 = 4 * 1 * (-8x^3) = -32x^3 C(4, 4) * 1^0 * (-2x)^4 = 1 * 1 * 16x^4 = 16x^4

Теперь мы можем собрать все слагаемые вместе и найти коэффициент при x^3:

(1-2x)^4 = 1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4

Таким образом, коэффициент при x^3 в биномиальном разложении (1-2x)^4 равен -32.