Question

Доведіть тотожність,будь ласка a²+b²+c²+12 ≥ 4(a+b+c)

Answer 1

докажем, что

a²+b²+c²+12 - 4(a+b+c)≥0

действительно,

a²+b²+c²+12 - 4(a+b+c) = (a²-4a+4)+

+(b²-4b+4)+(c²-4c+4)=(а-2)²+(b-2)²+(c-2)²≥0

так как (a-2)²≥0, (b-2)²≥0 и (c-2)²≥0

Answer 2

Давайте розглянемо даний математичний вираз і доведемо нерівність.

Маємо тотожність: \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4(a + b + c)\).

Розглянемо ліву частину (ЛС) та праву частину (ПС) нерівності окремо:

1. Ліва частина (ЛС): \[a^2 + b^2 + c^2 + 12\]

2. Права частина (ПС): \[4(a + b + c)\]

Тепер розглянемо обидві частини і покажемо, що ЛС завжди більше або рівна ПС.

\[a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4(a + b + c)\]

Розпишемо ЛС:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 12 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2\]

Тепер введемо три допоміжні змінні \(x = a - 1\), \(y = b - 1\) і \(z = c - 1\). Тоді отримаємо:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 12 = (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 + 12\]

Розгорнемо кожен квадрат:

\[= x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 + z^2 + 2z + 1 + 12\]

Об'єднаємо подібні члени:

\[= x^2 + y^2 + z^2 + 2(x + y + z) + 15\]

А тепер підставимо назад значення \(x\), \(y\), \(z\):

\[= (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2((a - 1) + (b - 1) + (c - 1)) + 15\]

Спростимо подальше:

\[= a^2 + b^2 + c^2 + 2(a + b + c) + 15\]

Розглянемо тепер ПС:

\[4(a + b + c)\]

Тепер порівняємо ЛС та ПС:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 2(a + b + c) + 15 \geq 4(a + b + c)\]

Спростимо далі:

\[a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + b + c) + 15 \geq 0\]

\[(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 12 \geq 0\]

Оскільки кожен квадрат завжди не менше нуля, то вираз завжди більше або рівний нулю. Таким чином, ми довели задану тотожність:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geq 4(a + b + c)\]