Question

Выяснить, какие из приведенных троек векторов образуют базис в пространстве R3: Выберите один или несколько ответов: (1;1;1), (0;1;0), (2;2;2) (0;0;1), (1;0;0), (0;1;0) (0;0;1), (0;1;0), (0;1;1) (1;1;1), (0;1;0), (1;0;0)

Answer 1

Ответ:

(0;0;1), (1;0;0), (0;1;0)

(1;1;1), (0;1;0), (1;0;0)

Объяснение:

Answer 2

Как определить базис в пространстве \( \mathbb{R}^3 \)? Базис - это система векторов, которая образует линейно независимое множество векторов и может породить любой другой вектор в этом пространстве через их линейную комбинацию.

Итак, у нас есть несколько троек векторов. Давайте проверим каждую из них на линейную независимость, поскольку базис должен состоять из векторов, которые не могут быть выражены как линейная комбинация других векторов этого множества.

1. \((1;1;1), (0;1;0), (2;2;2)\) - Векторы \( (1;1;1) \) и \( (2;2;2) \) линейно зависимы, поскольку один можно получить, умножив другой на 2. Это не образует базис.

2. \((0;0;1), (1;0;0), (0;1;0)\) - Эти векторы образуют стандартный базис для \( \mathbb{R}^3 \), потому что каждый из них представляет одно из базисных направлений (ось x, y, z). Они линейно независимы и образуют базис.

3. \((0;0;1), (0;1;0), (0;1;1)\) - Векторы \( (0;1;0) \) и \( (0;1;1) \) линейно зависимы, так как последний можно получить, сложив первые два. Это не образует базис.

4. \((1;1;1), (0;1;0), (1;0;0)\) - Векторы \( (1;1;1) \) и \( (0;1;0) \) линейно независимы, образуют базис \( \mathbb{R}^3 \).

Итак, из предоставленных троек векторов только две из них образуют базис в пространстве \( \mathbb{R}^3 \): - \((0;0;1), (1;0;0), (0;1;0)\) - \((1;1;1), (0;1;0), (1;0;0)\)