Question

Розв'яжіть нерівність 4 - |x-4| >1

Answer 1

система

\begin{gathered} |x + 4| < 0 \\ x - 1 > 0 \\ |x + 4| > 0 \\ x - 1

∣x+4∣<0

x−1>0

∣x+4∣>0

x−1<0

Ответ (-∞ , -4) до (-4,1)

Answer 2

Задача включає в себе нерівність з модулем. Давайте розглянемо її крок за кроком.

Нерівність: \(4 - |x - 4| > 1\)

1. Спростимо вираз \(|x - 4|\). Модуль завжди повертає невід'ємне значення, тобто \(|a| = a\), якщо \(a \geq 0\), і \(|a| = -a\), якщо \(a < 0\). У нашому випадку \(a = x - 4\).

\[|x - 4| = \begin{cases} x - 4, & \text{якщо } x - 4 \geq 0 \\ -(x - 4), & \text{якщо } x - 4 < 0 \end{cases} \]

Визначимо, для яких значень \(x\) вираз \(x - 4\) буде не менше нуля, і розв'яжемо нерівність:

\[x - 4 \geq 0\] \[x \geq 4\]

Таким чином, для \(x \geq 4\) маємо \(|x - 4| = x - 4\).

Тепер для значень \(x < 4\) маємо \(|x - 4| = -(x - 4)\).

2. Підставимо ці вирази в початкову нерівність:

a) Для \(x \geq 4\): \[4 - (x - 4) > 1\]

б) Для \(x < 4\): \[4 + (x - 4) > 1\]

3. Розв'яжемо кожну з цих нерівностей:

a) Для \(x \geq 4\): \[4 - x + 4 > 1\] \[8 - x > 1\] \[-x > -7\] \[x < 7\]

б) Для \(x < 4\): \[4 + x - 4 > 1\] \[x > 1\]

Отже, розв'язком вихідної нерівності \(4 - |x - 4| > 1\) є об'єднання двох інтервалів: \[x < 4 \text{ або } x < 7\]

Це можна записати як \(x \in (-\infty, 4) \cup (4, 7)\).