Question

Решите уравнение: cos x * cos 6x = -1

Answer 1

Ответ:    $x=\pi \, (2n+1)\ ,\ n\in Z$  .

$cosx\cdot cos\, 6x=-1$

Так как   $-1\leq cosx\leq 1\ \ ,\ \ -1\leq cos\, 6x\leq 1$  , то  произведение равно (-1) ,

если один множитель равен 1, а другой множитель равен (-1) .  То есть

$\left\{\begin{array}{l}cosx=1\\cos\, 6x=-1\end{array}\right$       или     $\left\{\begin{array}{l}cos\, x=-1\\cos\, 6x=1\end{array}\right$   .

1)  Если   $cosx=1$  ,  то   $x=2\pi n\ ,\ n\in Z$  .

Подставим это значение переменной во второе уравнение системы ,

получим     $cos(6\cdot 2\pi n)=cos(12\pi n)=+1$ .  То есть (-1) никак не получим .

Значит такой вариант системы невозможен .

2) Если   $cosx=-1$  ,  то   $x=\pi +2\pi n=\pi (2n+1)\ ,\ n\in Z$  .

$cos(6\, (\pi +2\pi n))=cos(6\pi +12\pi n)=cos(12\pi n)=+1$

Оба уравнения второй системы верны при    $x=\pi \, (2n+1)\ ,\ n\in Z$  .

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \cos(x) \cdot \cos(6x) = -1 \).

Для начала, заметим, что \(-1\) может быть представлен как \(\cos(\pi)\). Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[ \cos(x) \cdot \cos(6x) = \cos(\pi) \]

Мы можем использовать тригонометрическую формулу для произведения косинусов:

\[ \cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2} \left( \cos(a - b) + \cos(a + b) \right) \]

Применяя эту формулу, уравнение примет вид:

\[ \frac{1}{2} \left( \cos(x - 6x) + \cos(x + 6x) \right) = \cos(\pi) \]

Упростим аргументы косинусов:

\[ \frac{1}{2} \left( \cos(-5x) + \cos(7x) \right) = \cos(\pi) \]

Теперь, учитывая, что \(\cos(\pi) = -1\), у нас есть:

\[ \frac{1}{2} \left( \cos(-5x) + \cos(7x) \right) = -1 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ \cos(-5x) + \cos(7x) = -2 \]

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для суммы косинусов:

\[ \cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \]

Применим эту формулу:

\[ 2 \cos\left(\frac{-5x + 7x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{-5x - 7x}{2}\right) = -2 \]

\[ 2 \cos(x) \cdot \cos(-6x) = -2 \]

Теперь, делим обе стороны на 2:

\[ \cos(x) \cdot \cos(-6x) = -1 \]

Таким образом, решение уравнения \( \cos(x) \cdot \cos(6x) = -1 \) это те значения x, для которых \(\cos(x) \cdot \cos(-6x) = -1\), и такие значения x включают в себя \(\frac{\pi}{7} + \frac{2k\pi}{7}\), где \(k\) - целое число.