Question

Докажите что при любых значениях х принимает положительные значения квадратный трехчлен: 1) x² + 4x + 17;3) x² – 8x + 17;​

Answer 1

Решение смотри в фото

Answer 2

Давайте рассмотрим оба квадратных трехчлена, чтобы понять, принимают ли они положительные значения при всех значениях \( x \):

1) \( x^2 + 4x + 17 \)

Для доказательства того, что этот трехчлен принимает только положительные значения для всех \( x \), мы можем воспользоваться методом завершения квадрата или попытаться выразить его как сумму квадрата и положительного числа. Однако, при рассмотрении квадратного трехчлена \( x^2 + 4x + 17 \), заметим, что это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Мы можем подтвердить это, рассматривая дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), и \( c = 17 \):

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 16 - 68 = -52 \]

Поскольку дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), это означает, что у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Таким образом, \( x^2 + 4x + 17 \) не имеет корней и всегда будет положительным при любых значениях \( x \).

2) \( x^2 - 8x + 17 \)

Аналогично предыдущему случаю, давайте рассмотрим этот трехчлен. В этом случае также можно заметить, что уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 - 68 = -4 \]

Снова дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)), что говорит о том, что этот квадратный трехчлен \( x^2 - 8x + 17 \) не имеет действительных корней. Следовательно, он также всегда будет положительным при любых значениях \( x \).

Таким образом, оба данных квадратных трехчлена, \( x^2 + 4x + 17 \) и \( x^2 - 8x + 17 \), будут положительными при любых значениях переменной \( x \), так как они не имеют действительных корней.