Question

Спростіть вирази2 cos^2 - 1 + 2sin^2actg^2 a × sin ^2 a -1​​

Answer 1

1)    $2 cos^2\alpha - 1 + 2sin^2\alpha =$

   $=(2 cos^2\alpha + 2sin^2\alpha )-1=$

   $=2( cos^2\alpha + sin^2\alpha )-1=$

   $=2*1-1=2-1=1$

Ответ:   $1$

2)     $ctg^2\alpha * sin ^2 a -1=$

     $=\frac{cos^2\alpha }{sin^2\alpha } * sin ^2 a -1=$

     $=\frac{cos^2\alpha }{sin^2\alpha } * \frac{sin^2\alpha }{1} -1=$

     $=cos^2\alpha -1=$

     $=cos^2\alpha -(sin^2\alpha+cos^2\alpha ) =$

     $=cos^2\alpha -sin^2\alpha-cos^2\alpha =-sin^2\alpha$

 Ответ:      $-sin^2\alpha$

Answer 2

Давайте спростимо вираз крок за кроком.

Почнемо з виразу: \(2\cos^2(a) - 1 + \frac{2\sin^2(a)}{\tan^2(a)} \times (\sin^2(a) - 1)\).

Давайте розглянемо кожен член окремо:

1. \(2\cos^2(a) - 1\):

Цей вираз можна переписати, використовуючи тригонометричну тотожність \(\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1\). Таким чином, \(2\cos^2(a) - 1 = 2(\cos^2(a) - \sin^2(a)) + \sin^2(a) - 1 = 2\cos(2a) + \sin^2(a) - 1\).

2. \(\frac{2\sin^2(a)}{\tan^2(a)}\):

Ми можемо використати те, що \(\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\), тоді \(\tan^2(a) = \frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)}\). Підставимо це вираз в нашу формулу:

\(\frac{2\sin^2(a)}{\tan^2(a)} = 2\sin^2(a) \cdot \frac{\cos^2(a)}{\sin^2(a)} = 2\cos^2(a)\).

3. \((\sin^2(a) - 1)\):

Цей вираз можна спростити до \(-\cos^2(a)\).

Тепер, збираємо всі ці частини разом у вихідний вираз:

\(2\cos(2a) + \sin^2(a) - 1 + 2\cos^2(a) \cdot (-\cos^2(a)) = 2\cos(2a) + \sin^2(a) - 1 - 2\cos^4(a)\).

Отже, вихідний спрощений вираз: \(2\cos(2a) + \sin^2(a) - 1 - 2\cos^4(a)\).