Question

6. Високий рівень Доведіть, що число (n+ 5)^2-n^2 - ділиться на 5.​

Answer 1

(n+5-n)*(n+5+n)=5*(2n+5) делится на пять, т.к. один из множителей 5 делится нацело на пять. Доказано.

Answer 2

Щоб довести, що вираз \( (n + 5)^2 - n^2 \) ділиться на 5, ми можемо використати тотожність квадратів. Така тотожність виглядає наступним чином:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \]

У нашому випадку \( a = n \) та \( b = 5 \). Замінимо ці значення у тотожності:

\[ (n + 5)^2 = n^2 + 2n \cdot 5 + 5^2. \]

Зараз віднімемо \( n^2 \):

\[ (n + 5)^2 - n^2 = n^2 + 2n \cdot 5 + 5^2 - n^2. \]

Помітимо, що \( n^2 \) та \( -n^2 \) скасовують одне одного:

\[ (n + 5)^2 - n^2 = 2n \cdot 5 + 5^2. \]

Розглянемо праву частину виразу: \( 2n \cdot 5 + 5^2 \). Це рівносильно \( 10n + 25 \).

Тепер ми хочемо довести, що вираз \( 10n + 25 \) ділиться на 5. Ми можемо виокремити 5 як спільний множник:

\[ 10n + 25 = 5 \cdot (2n + 5). \]

Отже, ми отримали вираз у вигляді \( 5 \cdot (2n + 5) \), що означає, що вихідний вираз \( (n + 5)^2 - n^2 \) ділиться на 5.

Це доводить, що вислів \( (n + 5)^2 - n^2 \) є кратним 5, тобто ділиться на 5.