Question

В геометрической прогрессии знаменатель равен 1/3 сумма первых пяти членов равна 121 найдите первый член геометрической прогрессии

Answer 1

Ответ:

b1 * (1 - (1/3)^5) / (1 - 1/3) = 121.

b1 * (1 - 1/243) / (2/3) = 121;

b1 * (242/243) * (3/2) = 121;

b1 * (121/81) = 121;

b1 = 121 / (121/81);

b1 = 81.

b5 = 81 * (1/3)^(5 - 1) = 3^4 * (1/3)^4 = 1.

Ответ: первый член прогрессии равен 81

Answer 2

Давайте воспользуемся формулами для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии (\(S_n\)) и формулой общего члена геометрической прогрессии (\(a_n\)).

Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]

Формула общего члена геометрической прогрессии: \[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

В вашем случае у нас есть следующая информация: \[r = \frac{1}{3}\] \[S_5 = 121\]

Мы знаем, что сумма первых пяти членов (\(S_5\)) равна 121. Таким образом, мы можем записать уравнение для \(S_5\) и решить его, чтобы найти первый член (\(a_1\)).

Итак, у нас есть: \[S_5 = \frac{a_1 \cdot (1 - r^5)}{1 - r} = 121\]

Мы можем использовать это уравнение, чтобы выразить \(a_1\) и решить его.

Сначала найдем значение \(1 - r^5\): \[1 - r^5 = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5\] \[1 - r^5 = 1 - \frac{1}{243}\] \[1 - r^5 = \frac{242}{243}\]

Теперь подставим это значение в уравнение для \(S_5\): \[\frac{a_1 \cdot \frac{242}{243}}{1 - \frac{1}{3}} = 121\] \[\frac{a_1 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = 121\] \[a_1 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = 121\] \[a_1 \cdot \frac{363}{486} = 121\] \[a_1 = \frac{121 \cdot 486}{363}\] \[a_1 = \frac{58706}{363}\] \[a_1 \approx 161.674\]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен примерно 161.674.