Question

АП Разность второго и шестого членов арифметической прогрессии равна 12, а их произведение равно 85. Найдите первый член и разность этой прогрессии.​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\1)\\\\a_{2} -a_{6} =12\\\\a_{1} +d-(a_{1} +5d)=12\\\\a_{1} +d-a_{1} -5d=12\\\\-4d=12\\\\d=-3\\\\\\2)\\\\a_{2} \cdot a_{6} =85\\\\(a_{1} +d)\cdot(a_{1} +5d)=85\\\\(a_{1} -3)\cdot(a_{1} +5\cdot(-3))=85\\\\(a_{1} -3)\cdot(a_{1}-15)=85\\\\a_{1} ^{2} -15a_{1} -3a_{1} +45=85\\\\a_{1} ^{2} -18a_{1} -40=0\\\\D=(-18)^{2}-4\cdot(-40)=324+160=484=22^{2} \\\\a_{1} '=\frac{18+22}{2} =20\\\\\\a_{1} ''=\frac{18-22}{2} =-2$

Answer 2

Пусть разность данной арифметической прогрессии равна - d, а первый член - a.

Составим систему уравнений

(a + d) - (a + 5d) = 12

a + d - a - 5d = 12

-4d = 12

d = -3

(a + (-3)) * (a + 5 * (-3)) = 85

(a - 3)(a - 15) = 85

a^2 - 15a - 3a + 45 = 85

a^2 - 18a = 40

a^2 - 18a - 40 = 0

a^2 - 20a + 2a - 40 = 0

a(a + 2) - 20(a + 2) = 0

(a - 20)(a + 2) = 0

a1 = 20

a2 = -2

Ответ: (a = 20; d = -3); (a = -2; d = -3)

Answer 3

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии через \( a \), а разность между её членами через \( d \). Тогда второй член будет \( a + d \), а шестой член \( a + 5d \).

Условие задачи утверждает, что разность второго и шестого членов прогрессии равна 12:

\[ (a + 5d) - (a + d) = 12 \]

Упростим это уравнение:

\[ a + 5d - a - d = 12 \] \[ 4d = 12 \]

Теперь найдем значение \( d \):

\[ d = \frac{12}{4} \] \[ d = 3 \]

Теперь мы знаем разность (\( d \)) между членами прогрессии. Теперь найдем первый член (\( a \)). Условие также говорит нам, что произведение второго и шестого членов прогрессии равно 85:

\[ (a + d) \cdot (a + 5d) = 85 \]

Подставим значения \( a \) и \( d \):

\[ (a + 3) \cdot (a + 5 \cdot 3) = 85 \]

Упростим это уравнение:

\[ (a + 3) \cdot (a + 15) = 85 \]

Раскроем скобки:

\[ a^2 + 18a + 45 = 85 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ a^2 + 18a + 45 - 85 = 0 \]

\[ a^2 + 18a - 40 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что оно разделяется на две части:

\[ (a + 20)(a - 2) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения \( a \):

1. \( a + 20 = 0 \), следовательно, \( a = -20 \) 2. \( a - 2 = 0 \), следовательно, \( a = 2 \)

Таким образом, у нас есть два возможных варианта для первого члена арифметической прогрессии: \( a = -20 \) или \( a = 2 \). Однако мы знаем, что разность между членами прогрессии \( d \) равна 3, и таким образом, \( a = 2 \) является подходящим значением для первого члена.

Итак, первый член арифметической прогрессии \( a = 2 \), а разность между членами \( d = 3 \).