Question

Y"-2y'+y=0Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y''-2y'+y=0

k²-2k+1=0

(k-1)²=0

k=1

y=C₁e^x+xC₂e^x

Answer 2

У вас здесь задано дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами:

\[ y'' - 2y' + y = 0 \]

Чтобы решить это уравнение, можно попробовать найти его общее решение.

Давайте предположим решение в виде \( y = e^{rx} \), где \( r \) - некоторая константа. Подставим это предположение в уравнение:

\[ y'' - 2y' + y = 0 \]

Сначала найдем первую и вторую производные функции \( y \):

\[ y = e^{rx} \] \[ y' = re^{rx} \] \[ y'' = r^2e^{rx} \]

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\[ r^2e^{rx} - 2re^{rx} + e^{rx} = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \( e^{rx} \) за скобки:

\[ e^{rx} (r^2 - 2r + 1) = 0 \]

Это уравнение равно нулю только в том случае, если выражение в скобках равно нулю:

\[ r^2 - 2r + 1 = 0 \]

Теперь найдем значения \( r \), которые удовлетворяют этому квадратному уравнению. Решая его, получаем:

\[ r = 1 \]

Таким образом, один корень \( r = 1 \) уравнения \( r^2 - 2r + 1 = 0 \). Поскольку корень кратный, общее решение будет выглядеть следующим образом:

\[ y = c_1 e^{x} + c_2 x e^{x} \]

где \( c_1 \) и \( c_2 \) - произвольные константы.

Это общее решение дифференциального уравнения второго порядка.