Question

269. Не решая уравнение, найдите, при каких значениях k сумма квадратов корней уравнения: а) 4х^2 – 28х + k = 0 равна 22,5​

Answer 1

4x²-28x+k=0

x²-7x+¼k=0

по т. Виета для этого уравнения:

$x_1+x_2 = 7 \\ x_1x_2 = \frac{k}{4}$

распишем выражение для суммы квадратов:

$x_1^2+x_2^2=(x_1^2+x_2)^2-2x_1x_2 = \\ = {7}^{2} - 2 \times \frac{1}{4} k = 49 - \frac{k}{2}$

49-½k =22,5

98-k=45

k=53

Ответ: при k=53

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу суммы корней квадратного уравнения. Общий вид квадратного уравнения выглядит следующим образом:

ax^2 + bx + c = 0

В данном случае, у нас есть уравнение:

4x^2 - 28x + k = 0

Мы хотим найти значения k, при которых сумма квадратов корней этого уравнения равна 22.5.

Для начала, давайте найдем сумму корней квадратного уравнения. Формула для суммы корней квадратного уравнения имеет вид:

S = -b/a

где S - сумма корней, b - коэффициент при x в уравнении, a - коэффициент при x^2 в уравнении.

В нашем случае, a = 4, b = -28. Подставим эти значения в формулу:

S = -(-28)/4 = 28/4 = 7

Теперь мы знаем, что сумма корней равна 7.

Квадраты корней можно выразить через сумму корней и произведение корней. Формулы для этого выглядят следующим образом:

(x1^2 + x2^2) = (x1 + x2)^2 - 2x1x2

где x1 и x2 - корни уравнения.

Подставим известные значения:

(x1 + x2)^2 = (7)^2 = 49

(x1x2) = k/4

(x1^2 + x2^2) = 49 - 2(k/4) = 49 - (k/2)

Теперь нам нужно найти значения k, при которых сумма квадратов корней равна 22.5. Подставим это значение в уравнение:

49 - (k/2) = 22.5

Вычтем 22.5 из обеих сторон:

49 - 22.5 = k/2

26.5 = k/2

Умножим обе стороны на 2:

53 = k

Таким образом, при значении k = 53, сумма квадратов корней уравнения 4x^2 - 28x + k = 0 будет равна 22.5.