Question

Уравнение (x^2 + 5)(2x^2– 3) + 25 = 0 представь в виде биквадратного ax^4 + bx^2 + c = 0 и с помощью замены x2 = y приведи к квадратному уравнению.​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\(x^{2} +5)(2x^{2} -3)+25=0\\\\2x^{4} -3x^{2} +10x^{2} -15+25=0\\\\2x^{4} +7x^{2} +10=0\\\\x^{2} =y \ \ ; \ \ y\geq 0\\\\2y^{2} +7y+10=0$

Answer 2

Чтобы представить уравнение в виде биквадратного уравнения и привести его к квадратному уравнению с помощью замены, давайте выполним следующие шаги:

1. Разложение произведения: Раскроем скобки в уравнении (x^2 + 5)(2x^2 – 3) + 25 = 0: (x^2 * 2x^2) + (x^2 * -3) + (5 * 2x^2) + (5 * -3) + 25 = 0 2x^4 - 3x^2 + 10x^2 - 15 + 25 = 0 2x^4 + 7x^2 + 10 = 0

2. Замена переменной: Введем новую переменную y и заменим x^2 на y: y = x^2 После замены получим: 2y^2 + 7y + 10 = 0

3. Приведение к квадратному уравнению: Рассмотрим уравнение 2y^2 + 7y + 10 = 0. Для того чтобы привести его к квадратному уравнению, воспользуемся стандартной формой квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

Для начала, убедимся, что коэффициент при y^2 равен 1. Если это не так, то домножим уравнение на такое число, чтобы коэффициент был равен 1. В нашем случае коэффициент уже равен 2, поэтому мы должны разделить уравнение на 2: (2y^2 + 7y + 10) / 2 = 0 y^2 + (7/2)y + 5 = 0

Затем, чтобы завершить квадрат, добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при y: y^2 + (7/2)y + (7/4)^2 - (7/4)^2 + 5 = 0 y^2 + (7/2)y + (49/16) - (49/16) + 80/16 = 0 (y + 7/4)^2 - (49/16) + 80/16 = 0 (y + 7/4)^2 + 31/16 = 0

Теперь мы привели уравнение к виду (y + p)^2 + q = 0, где p = 7/4 и q = 31/16.

4. Ответ: Исходное уравнение (x^2 + 5)(2x^2 – 3) + 25 = 0 представлено в виде биквадратного уравнения 2x^4 + 7x^2 + 10 = 0. После замены x^2 = y и приведения к квадратному уравнению получаем (y + 7/4)^2 + 31/16 = 0.

Если требуется найти решения этого уравнения, можно решить полученное квадратное уравнение относительно y и затем найти соответствующие значения x.