Question

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y=e^x, y=e^(-x), y=2

Answer 1

Ответ:

можете не благодорить)))))))))))))

Answer 2

Для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной данными кривыми \(y = e^x\), \(y = e^{-x}\) и \(y = 2\), мы должны сначала найти точки их пересечения, чтобы определить интервалы значений \(x\), охватываемые каждой из кривых.

Итак, начнем с нахождения точек пересечения \(y = e^x\) и \(y = e^{-x}\):

\(e^x = e^{-x}\)

Мы можем решить это уравнение, взяв натуральный логарифм от обеих сторон:

\(\ln(e^x) = \ln(e^{-x})\)

\(x = -x\)

Отсюда получаем: \(2x = 0\), следовательно, \(x = 0\).

Теперь у нас есть точка пересечения для \(y = e^x\) и \(y = e^{-x}\) при \(x = 0\).

Чтобы найти точку пересечения \(y = e^x\) и \(y = 2\):

\(e^x = 2\)

Это можно выразить в виде натурального логарифма:

\(\ln(e^x) = \ln(2)\)

\(x = \ln(2)\)

Теперь у нас есть вторая точка пересечения для \(y = e^x\) и \(y = 2\) при \(x = \ln(2)\).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, мы можем взять интеграл от \(y = e^{-x}\) до \(y = e^x\) от \(x = 0\) до \(x = \ln(2)\) и вычесть интеграл от \(y = e^{-x}\) до \(y = 2\) от \(x = \ln(2)\) до \(x = 0\):

\[S = \int_{0}^{\ln(2)} (e^x - e^{-x}) \,dx - \int_{\ln(2)}^{0} (2 - e^{-x}) \,dx\]

Это можно упростить:

\[S = \int_{0}^{\ln(2)} (e^x - e^{-x}) \,dx + \int_{0}^{\ln(2)} (e^{-x} - 2) \,dx\]

\[S = \int_{0}^{\ln(2)} (2e^x - 3e^{-x}) \,dx\]

\[S = \left[2e^x + 3e^{-x}\right]_{0}^{\ln(2)}\]

\[S = 2e^{\ln(2)} + 3e^{-\ln(2)} - (2e^0 + 3e^0)\]

\[S = 2(2) + 3\left(\frac{1}{2}\right) - (2 + 3)\]

\[S = 4 + \frac{3}{2} - 5\]

\[S = \frac{11}{2} - 5\]

\[S = \frac{1}{2}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = e^x\), \(y = e^{-x}\) и \(y = 2\), равна \(\frac{1}{2}\) квадратных единиц.