Question

Решите неравенства 2^x+2^3-x<9​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\2^{x} +2^{3-x}$

0+ + + + + (1) - - - - - (8) + + + + +

                  ///////////

$\displaystyle\bf\\\left \{ {{m>1} \atop {m1} \atop {2^{x} 2^{0} } \atop {2^{x} 0} \atop {x$

Answer 2

Давайте решим неравенство 2^x + 2^(3-x) < 9 по порядку.

Шаг 1: Преобразование выражений Начнем с преобразования выражений, чтобы упростить неравенство. Мы можем заметить, что 2^3 = 8, поэтому мы можем заменить 2^(3-x) на 8/2^x. Теперь наше неравенство выглядит следующим образом:

2^x + 8/2^x < 9

Шаг 2: Умножение на общий знаменатель Умножим оба выражения на 2^x, чтобы избавиться от дроби:

2^x * 2^x + 8 < 9 * 2^x

2^(2x) + 8 < 9 * 2^x

Шаг 3: Приведение подобных слагаемых Теперь мы можем привести подобные слагаемые, чтобы упростить неравенство:

2^(2x) - 9 * 2^x + 8 < 0

Шаг 4: Замена переменной Введем новую переменную, например, пусть y = 2^x. Тогда мы можем переписать неравенство следующим образом:

y^2 - 9y + 8 < 0

Шаг 5: Факторизация Для решения этого квадратного неравенства, нам нужно найти его факторизацию:

(y - 1)(y - 8) < 0

Шаг 6: Определение интервалов Теперь мы можем использовать таблицу знаков или метод интервалов, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

Интервал 1: y < 1 Подставляем y = 0 в неравенство: (0 - 1)(0 - 8) < 0 -1 * -8 < 0 8 < 0 - Ложное утверждение

Интервал 2: 1 < y < 8 Подставляем y = 5 в неравенство: (5 - 1)(5 - 8) < 0 4 * -3 < 0 -12 < 0 - Истиное утверждение

Интервал 3: y > 8 Подставляем y = 9 в неравенство: (9 - 1)(9 - 8) < 0 8 * 1 < 0 8 < 0 - Ложное утверждение

Шаг 7: Перевод обратно в переменную x Теперь мы можем перевести найденные интервалы обратно в переменную x, используя y = 2^x:

Интервал 2: 1 < y < 8 1 < 2^x < 8

Применяя логарифмы по базе 2 к обоим сторонам неравенства, мы получим:

log2(1) < log2(2^x) < log2(8) 0 < x < 3

Таким образом, решением неравенства 2^x + 2^(3-x) < 9 является интервал 0 < x < 3.