Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями f(x) = 2cosx, y=0, x=0, x= 3/2

Answer 1

Ответ:

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле   $\displaystyle S=\int\limits^a_b {f(x)} \, dx$

$y=2cosx\ ,\ \ y=0\ ,\ x=0\ ,\ x=\dfrac{3\pi }{2}$

По графику видно, что область от х=0 до х=3П/2 разбита на две области. Одна находится выше оси ОХ при изменении х от 0 до П/2 , а вторая находится ниже оси ОХ при х от П/2 до 3П/2 . Поэтому при вычислении определённого интеграла по второй области получим знак минус, а значит, чтобы площадь выражалась положительным числом, перед интегралом надо поставить знак минус .  

$\displaystyle S_1=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, 2\, cosx\, dx=2\cdot sinx\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=2\cdot (sin\dfrac{\pi}{2}-sin0)=2\cdot (1-0)=2\\\\\\S_2=-\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\, 2\, cosx\, dx=-2\cdot sinx\Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}=-2\cdot (sin\dfrac{3\pi}{2}-sin\frac{\pi}{2})=-2\cdot (-1-1)=4\\\\\\S=S_1+S_2=2+4=6$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций \(f(x) = 2\cos(x)\), оси x, и линиями \(x = 0\) и \(x = \frac{3}{2}\), можно воспользоваться интегралом.

Сначала определим точки пересечения графика функции \(f(x)\) с осью x. Уравнение \(f(x) = 0\) дает:

\[2\cos(x) = 0\]

Это уравнение имеет решение при \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(x = \frac{3\pi}{2}\).

Теперь мы можем выразить площадь фигуры как интеграл от \(x = 0\) до \(x = \frac{3}{2}\) разности \(f(x)\) и \(y = 0\):

\[S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} (2\cos(x) - 0) \,dx\]

Интегрируя, получим:

\[S = \int_{0}^{\frac{3}{2}} 2\cos(x) \,dx\]

Интеграл \(\int 2\cos(x) \,dx\) можно решить следующим образом:

\[S = 2\int \cos(x) \,dx = 2\sin(x)\]

Теперь вычислим значение в пределах от \(0\) до \(\frac{3}{2}\):

\[S = 2\sin\left(\frac{3}{2}\right) - 2\sin(0)\]

Учитывая, что \(\sin\left(\frac{3}{2}\right) = -1\) и \(\sin(0) = 0\), получаем:

\[S = -2 \cdot (-1) = 2\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функции \(f(x) = 2\cos(x)\), осью x, и линиями \(x = 0\) и \(x = \frac{3}{2}\), равна \(2\).