Question

Дана несократимая дробь, числитель которой на 1 меньше знаменателя. Если и к числителю, и к знаменателю прибавить 2, то данная дробь увеличится на 2/15. Найдите эту дробь (подсказка: знаменатель принять за х. Обязательно учитывайте, что и числитель, и знаменатель - положительные)​

Answer 1

Ответ:

В решении.

Объяснение:

Дана несократимая дробь, числитель которой на 1 меньше знаменателя. Если и к числителю, и к знаменателю прибавить 2, то данная дробь увеличится на 2/15. Найдите эту дробь (подсказка: знаменатель принять за х. Обязательно учитывайте, что и числитель, и знаменатель - положительные)​.

х - знаменатель;

х - 1 - числитель;

По условию задачи уравнение:

((х - 1) + 2)/(х + 2) = (х - 1)/х + 2/15

)х + 1)/(х - 1) = (х - 1)/х + 2/15

Умножить все части уравнения на 15х(х + 2), чтобы избавиться от дробного выражения:

15х*(х + 1) = 15(х + 2)*(х - 1) + 2*х(х + 2)

Раскрыть скобки:

15х² + 15х = 15х² + 15х - 30 + 2х²+ 4х

Привести подобные:

15х² - 15х² - 2х² + 15х - 15х - 4х + 30 = 0

-2х² - 4х + 30 = 0/-2

х² + 2х - 15 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 4 + 60 = 64        √D=8

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(-2-8)/2 = -10/2 = -5, отбросить, как отрицательный;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(-2+8)/2

х₂=6/2

х₂= 3 - знаменатель дроби;

3 - 1 = 2 - числитель дроби;

2/3 - искомая дробь.

Проверка:

(2 + 2)/(3 + 2) - 2/3 = 4/5 - 2/3 = (12 - 10)/15 = 2/15, верно.

Answer 2

Для начала давайте обозначим данную несократимую дробь как \(\frac{a}{b}\), где \(a\) - числитель, \(b\) - знаменатель. По условию задачи, числитель этой дроби на 1 меньше знаменателя, то есть \(a = b - 1\).

Теперь нам нужно решить уравнение, которое описывает условие задачи. Если к числителю и знаменателю прибавить 2, то данная дробь увеличится на \(\frac{2}{15}\). Это позволяет нам записать следующее уравнение:

\(\frac{a + 2}{b + 2} - \frac{a}{b} = \frac{2}{15}\)

Теперь подставим \(a = b - 1\) в это уравнение:

\(\frac{b - 1 + 2}{b + 2} - \frac{b - 1}{b} = \frac{2}{15}\)

Упростим это уравнение и найдем значение \(b\).