Question

Решите, пожалуйста, уравнение √(2)*(sinx+cosx)=4sinx *cosx

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\left [ \begin{array}{ccc} x = \dfrac{\pi}{12} - \dfrac{2\pi n}{3} , n \in \mathbb Z \\\\ x =\dfrac{ 3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb Z\end{array}\right}$

Примечание:

$\cos \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2} }{2}$

$-\dfrac{\pi}{8}+ \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{4\pi }{8} - \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{4\pi - \pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8}$

Объяснение:

$\sqrt{2}( \sin x+ \cos x) = 4 \sin x \cos x|:2$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \bigg (\sin x+ \cos x\bigg) = 2 \sin x \cos x$

$\dfrac{\sqrt{2} }{2} \sin x + \dfrac{\sqrt{2} }{2} \cos x = \sin 2x$

$\cos \dfrac{\pi}{4} \sin x + \sin \dfrac{\pi}{4} \cos x = \sin 2x$

$\sin \bigg (\dfrac{\pi }{4} - x \bigg) - \sin 2x = 0$

$2 \sin \bigg ( \dfrac{\dfrac{\pi }{4} - x - 2x}{2} \bigg) \cos\bigg ( \dfrac{\dfrac{\pi }{4} - x + 2x}{2} \bigg) = 0|:2$

$\sin \bigg ( \dfrac{\dfrac{\pi }{4} - 3x}{2} \bigg) \cos\bigg ( \dfrac{\dfrac{\pi }{4} + x}{2} \bigg) = 0$

$\sin \bigg (\dfrac{\pi}{8} - 1,5x \bigg) \cos \bigg(\dfrac{\pi}{8} + 0,5x \bigg) =0$

$\left [ \begin{array}{ccc} \sin \bigg (\dfrac{\pi}{8} - 1,5x \bigg) =0 \\ \cos \bigg(\dfrac{\pi}{8} + 0,5x \bigg) =0 \end{array}\right$  $\left [ \begin{array}{ccc} \dfrac{\pi}{8} - 1,5x = \pi n, n \in \mathbb Z \\\\ \dfrac{\pi}{8} + 0,5x = \dfrac{\pi}{2}+ \pi n, n \in \mathbb Z \end{array}\right$  

$\left [ \begin{array}{ccc} - 1,5x = - \dfrac{\pi}{8}+ \pi n, n \in \mathbb Z \bigg | \cdot -\dfrac{2}{3} \\\\ 0,5x = -\dfrac{\pi}{8}+ \dfrac{\pi}{2}+ \pi n, n \in \mathbb Z |\cdot 2\end{array}\right$  $\left [ \begin{array}{ccc} x = \dfrac{2\pi}{8 \cdot 3} - \dfrac{2\pi n}{3} , n \in \mathbb Z \\\\ x =\dfrac{ 2\cdot 3\pi}{8} + 2\pi n, n \in \mathbb Z\end{array}\right$

 $\left [ \begin{array}{ccc} x = \dfrac{\pi}{12} - \dfrac{2\pi n}{3} , n \in \mathbb Z \\\\ x =\dfrac{ 3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb Z\end{array}\right$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем начать с преобразования его в более удобную форму. Для этого мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами корня. Давайте начнем:

Уравнение: √(2)*(sinx+cosx) = 4sinx + cosx.

Сначала раскроем скобки на левой стороне уравнения, используя свойство дистрибутивности:

√(2)*sinx + √(2)*cosx = 4sinx + cosx.

Затем выведем все слагаемые синуса на левую сторону, а слагаемые косинуса на правую сторону:

√(2)*sinx - 4sinx = cosx - √(2)*cosx.

Далее вынесем sinx за скобку и cosx за скобку:

sinx(√(2) - 4) = cosx(1 - √(2)).

Теперь мы можем разделить обе стороны уравнения на (√(2) - 4) и (1 - √(2)), чтобы избавиться от скобок:

sinx = cosx * ((1 - √(2))/(√(2) - 4)).

Коэффициент перед cosx представляет собой отношение двух чисел, которые можно вычислить:

((1 - √(2))/(√(2) - 4)) ≈ 1.414.

Теперь, чтобы решить уравнение, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством: sinx = cos(π/2 - x). Подставим это в уравнение:

cos(π/2 - x) = cosx * 1.414.

Теперь мы можем применить тригонометрическое тождество cos(π/2 - x) = sinx:

sinx = sinx * 1.414.

Так как sinx не может быть равен нулю (иначе в знаменателе была бы ноль), мы можем сократить его с обеих сторон уравнения:

1 = 1.414.

Очевидно, что это неверное утверждение. Поэтому, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет решений.