Question

П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 5, а сума десяти перших 60. Знайдіть перший член і різницю прогресії. ​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\a_{5} =5\\\\S_{10} =60\\\\\\a_{5} =a_{1} +4d\\\\a_{1} +4d=5\\\\\\S_{10} =\frac{2a_{1} +9d}{2} \cdot 10=(2a_{1} +9d)\cdot 5\\\\(2a_{1} +9d)\cdot5=60\\\\2a_{1} +9d=12\\\\\\\left \{ {{a_{1} =5-4d} \atop {2\cdot(5-4d)+9d=12}} \right.\\\\\\\left \{ {{a_{1}=5-4d } \atop {10-8d+9d=12}} \right.$

$.$

$\displaystyle\bf\\\left \{ {{a_{1} =5-4d} \atop {d=2}} \right.\\\\\\\left \{ {{a_{1}=5-4\cdot 2 } \atop {d=2}} \right. \\\\\\\left \{ {{a_{1} =-3} \atop {d=2}} \right. \\\\\\Otvet: \ a_{1} =-3 \ ; \ d=2$

Answer 2

Для розв'язання цього завдання ми можемо скористатися формулами для знаходження п'ятого члена арифметичної прогресії та суми перших n членів арифметичної прогресії.

Формула для знаходження п'ятого члена арифметичної прогресії: a₅ = a₁ + (5 - 1)d,

де a₅ - п'ятий член прогресії, a₁ - перший член прогресії, d - різниця прогресії.

Формула для знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ),

де Sₙ - сума перших n членів прогресії.

Ми знаємо, що п'ятий член прогресії дорівнює 5, тобто a₅ = 5. Також нам відомо, що сума перших 10 членів прогресії дорівнює 60, тобто S₁₀ = 60.

Знаходження першого члена прогресії

Ми можемо використати формулу для знаходження п'ятого члена арифметичної прогресії, щоб знайти перший член прогресії. Підставимо відомі значення в формулу:

5 = a₁ + (5 - 1)d.

Ми не знаємо значення різниці прогресії (d), тому ми не можемо безпосередньо знайти перший член прогресії (a₁). Однак, ми можемо використати іншу інформацію, яку ми маємо, щоб знайти перший член.

Знаходження різниці прогресії

Ми знаємо, що сума перших 10 членів прогресії дорівнює 60, тобто S₁₀ = 60. Ми можемо використати формулу для знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії, щоб знайти різницю прогресії (d). Підставимо відомі значення в формулу:

60 = (10/2)(a₁ + a₁₀).

Ми знаємо, що a₁₀ = 5 (за умовою), тому ми можемо замінити це значення:

60 = (10/2)(a₁ + 5).

Розкриємо дужки:

60 = 5(a₁ + 5).

Розкриємо дужки:

60 = 5a₁ + 25.

Перенесемо 25 на ліву сторону:

60 - 25 = 5a₁.

Скоротимо:

35 = 5a₁.

Розділимо обидві частини на 5:

7 = a₁.

Таким чином, перший член прогресії a₁ дорівнює 7.

Знаходження різниці прогресії

Ми вже знайшли перший член прогресії a₁, який дорівнює 7. Тепер ми можемо використати це значення, щоб знайти різницю прогресії d.

Підставимо відомі значення в формулу для знаходження п'ятого члена арифметичної прогресії:

5 = 7 + (5 - 1)d.

Скоротимо:

5 = 7 + 4d.

Перенесемо 7 на праву сторону:

5 - 7 = 4d.

Скоротимо:

-2 = 4d.

Розділимо обидві частини на 4:

-1/2 = d.

Таким чином, різниця прогресії d дорівнює -1/2.

Отже, перший член прогресії a₁ дорівнює 7, а різниця прогресії d дорівнює -1/2.