Question

Найди сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 14 и имеют ровно делителей, считая и само число. (В ответ запиши только число без пробелов.)

Answer 1

Ответ: $126$

Объяснение:

Предположим, что в таких натуральных числах есть 3 и более простых делителей, пусть данные простые делители равны $p_{1}, p_{2}, p_{3}$.

Тогда из комбинаторных соображений из данных трех простых делителей можно составить:

$(1+1)^3 = 8$ различных делителей, то есть в таком числе не менее $8$ делителей, а у нас только $6$. Таким образом, в нашем числе не более двух простых делителей. Также стоит заметить, что число $14$ является составным, а значит в наших числах должно быть хотя бы два простых делителя. Как видим, нам нужны числа удовлетворяющие равенству:

$n = p_{1} ^a * p_{2} ^b\\a\geq b$

$p_{1}, p_{2}$ - простые натуральные числа.

$a,b$ - произвольные натуральные числа.

Откуда из комбинаторных соображений количество делителей удовлетворяет следующему равенству:

$N_{d} = (a+1)(b+1) \\(a+1)(b+1) = 6$

Учитывая, что каждый из множителей в левой части уравнения не менее двух и $a \geq b$, то остается единственный вариант:

$a+1 = 3\\b+1 = 2\\a = 2\\b = 1\\n = p_{1}^2 * p_{2}$

Поскольку $n$ кратно  $14 = 7*2$, то для $n$ возможно два варианта:

$n_{1} = 7^2 * 2 = 49*2 = 98\\n_{2} = 2^2 * 7 = 4*7 = 28\\n_{1} + n_{2} = 98 + 28 = 126$

Answer 2

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 14 и имеют ровно 4 делителя (считая и само число), мы должны найти такие числа, у которых количество делителей является функцией мультипликативной. Функция мультипликативной числовой последовательности задается формулой:

f(p^k) = k + 1,

где p - простое число, а k - натуральное число.

Число 14 можно представить как 2^1 * 7^1. Следовательно, количество делителей числа 14 равно (1+1) * (1+1) = 4.

Теперь нам нужно найти сумму всех чисел, которые представляются в виде 2^a * 7^b, где a ≥ 1, b ≥ 1, и a*b = 1.

Таким образом, нам нужно найти сумму всех чисел вида 2^1 * 7^1 = 14.

Ответ: 14.