Question

Найдите критические точки f(x)=x^4-4x^2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)=x⁴-4x²

f'(x)=(x⁴-4x²)'=4x³-8x

4x³-8x=0                                     |4

x(x²-2)=0

x₁=0

x²-2=0; x²=2; x₂=-√2; x₃=√2

Критические точки: -√2; 0; √2.

Answer 2

Для нахождения критических точек функции f(x) = x^4 - 4x^2, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки являются потенциальными экстремумами функции или точками перегиба.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования:

f'(x) = 4x^3 - 8x

Решение уравнения f'(x) = 0

Теперь, чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение f'(x) = 0:

4x^3 - 8x = 0

Мы можем вынести общий множитель и получить:

4x(x^2 - 2) = 0

Таким образом, мы имеем два возможных значения x:

1) x = 0 2) x^2 - 2 = 0

Решение уравнения x^2 - 2 = 0

Для решения уравнения x^2 - 2 = 0, мы вычитаем 2 с обеих сторон и получаем:

x^2 = 2

Затем, извлекаем квадратный корень с обеих сторон:

x = ±√2

Итоговые критические точки

Таким образом, у нас есть три критические точки:

1) x = 0 2) x = √2 3) x = -√2

Проверка характера критических точек

Чтобы определить характер критических точек, мы можем использовать вторую производную f''(x). Если f''(x) > 0, то это точка минимума, если f''(x) < 0, то это точка максимума, и если f''(x) = 0, то это точка перегиба.

Нахождение второй производной функции

Для нахождения второй производной функции f''(x), мы дифференцируем производную f'(x):

f''(x) = 12x^2 - 8

Проверка характера критических точек

Теперь, подставляя значения x во вторую производную, мы можем определить характер каждой критической точки:

1) Подставляя x = 0, получаем f''(0) = -8. Это означает, что x = 0 является точкой максимума. 2) Подставляя x = √2, получаем f''(√2) = 16 - 8 = 8. Это означает, что x = √2 является точкой минимума. 3) Подставляя x = -√2, получаем f''(-√2) = 16 - 8 = 8. Это означает, что x = -√2 является точкой минимума.

Итоговый ответ

Таким образом, у функции f(x) = x^4 - 4x^2 имеются три критические точки: 1) Точка максимума в x = 0. 2) Точка минимума в x = √2. 3) Точка минимума в x = -√2.