Question

Складіть рівняння дотичної для графіка функції f(x)=1/(2x-1)^2 хо＝1

Answer 1

Объяснение:

$y=\frac{1}{(2x-1)^2} \ \ \ \ x_0=1\ \ \ \ \ y_k=?\\y_k=y(x_0)+y'(x_0)*(x-x_0).\\y(1)=\frac{1}{(2*1-1)^2} =\frac{1}{(2-1)^2} =\frac{1}{1^2}=1.\\ y'=(\frac{1}{(2x-1)^2})'=((2x-1)^{-2})'=-2*(2x-1)^{-3}*(2x-1)'=-\frac{4}{(2x-1)^3} . \\y'(1)=-\frac{4}{(2*1-1)^3} =-\frac{4}{1^3} =-4.\\y_k=1+(-4)*(x-1)=1-4x+4=-4x+5.$

Ответ: yk=-4x+5.

Answer 2

Щоб скласти рівняння дотичної до графіка функції f(x), спочатку треба знайти похідну цієї функції. Похідна функції f(x) допоможе нам знайти нахил (або градієнт) дотичної до графіка функції в певній точці. Дотична - це пряма, яка має той самий нахил, що й графік функції у даній точці.

Знаходження похідної

Почнемо зі складання рівняння дотичної до графіка функції f(x). Спочатку знайдемо похідну функції f(x).

Для цього використаємо правило ланцюгового диференціювання (chain rule), оскільки функція f(x) є складеною функцією.

Функція f(x) може бути представлена як f(x) = (1/(2x-1)^2) + х₀, де х₀ = 1.

Для зручності, перепишемо функцію f(x) в іншій формі: f(x) = (2x-1)^(-2) + х₀

Тепер знайдемо похідну функції f(x) за змінною x:

f'(x) = -2(2x-1)^(-3) + 0 = -2/(2x-1)^3

Знаходження точки дотику

Для знаходження точки дотику, потрібно знайти значення x, в якому ми хочемо знаходити дотичну. В даному випадку, хочемо знайти дотичну для x₀ = 1. Тому підставимо x₀ = 1 у функцію f(x) і отримаємо значення f(1):

f(1) = (2(1)-1)^(-2) + х₀ = 1 + х₀ = 1 + 1 = 2

Отже, ми отримали точку дотику (1, 2).

Складання рівняння дотичної

Ми вже знаємо нахил дотичної (похідну f'(x)) та точку дотику (1, 2).

Використовуючи загальне рівняння прямої y - y₁ = m(x - x₁), де (x₁, y₁) - точка на прямій та m - нахил (градієнт) прямої, ми можемо скласти рівняння дотичної.

Підставимо відповідні значення:

y - 2 = -2/(2(1)-1)^3(x - 1)

Спростимо рівняння:

y - 2 = -2/1(x - 1) y - 2 = -2(x - 1) y - 2 = -2x + 2 y = -2x + 4

Таким чином, рівняння дотичної до графіка функції f(x) = 1/(2x-1)^2 + хо=1 у точці (1, 2) є y = -2x + 4.