Question

Докажите что (9^26)-(2^65) делится на 49

Answer 1

a^n - b^n = (a - n)(a^(n - 1) + a^(n -2)b + ......+ ab^(n - 2) + b^(n - 1))
(a^m)^n = a^(mn)
9^26 - 2^65 = (9^2)^13 - (2^5)^13 = 81^13 - 32^13 = (81 - 32)(81^12 + 81^11*32 + .....+ 81*32^11 + 32^12) = 49*(81^12 + 81^11*32 + .....+ 81*32^11 + 32^12)
один из множителей делится на 49 ⇒ все произведение делится на 49

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (9^26) - (2^65) делится на 49, мы можем использовать теорему остатков.

Остаток от деления числа на 49

Чтобы понять, делится ли число на 49, мы можем рассмотреть его остаток от деления на 49. Если остаток равен нулю, то число делится на 49.

Расчет остатка для (9^26) - (2^65)

Давайте рассчитаем остаток для данного выражения.

1. Расчет для (9^26): - Для нахождения остатка от деления (9^26) на 49, мы можем использовать малую теорему Ферма. Согласно этой теореме, если p - простое число, а a - целое число, не делящееся на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p). - В нашем случае p = 49 и a = 9. Так как 9 и 49 - взаимно простые числа, мы можем применить малую теорему Ферма. - (9^48) ≡ 1 (mod 49) (согласно малой теореме Ферма) - (9^26) = (9^48) * (9^48) * (9^26) ≡ 1 * 1 * (9^26) (mod 49) - (9^26) ≡ (9^26) (mod 49) (так как 1 * 1 ≡ 1 (mod 49))

2. Расчет для (2^65): - Для нахождения остатка от деления (2^65) на 49, мы также можем использовать малую теорему Ферма. - В нашем случае p = 49 и a = 2. Так как 2 и 49 - взаимно простые числа, мы можем применить малую теорему Ферма. - (2^48) ≡ 1 (mod 49) (согласно малой теореме Ферма) - (2^65) = (2^48) * (2^48) * (2^48) * (2^48) * (2^48) * (2^48) * (2^5) ≡ 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * (2^5) (mod 49) - (2^65) ≡ (2^5) (mod 49) (так как 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 ≡ 1 (mod 49))

3. Расчет для (9^26) - (2^65): - (9^26) - (2^65) ≡ (9^26) - (2^5) (mod 49) (так как (9^26) ≡ (9^26) (mod 49) и (2^65) ≡ (2^5) (mod 49)) - (9^26) - (2^65) ≡ (9^26) - 32 (mod 49)

Проверка остатка

Теперь мы можем проверить, делится ли (9^26) - (2^65) на 49, проверив остаток от деления (9^26) - 32 на 49. Если остаток равен нулю, то (9^26) - (2^65) делится на 49.

Вычислим остаток (9^26) - 32 по модулю 49:

- (9^26) - 32 ≡ (9^26) - 32 (mod 49)

Таким образом, чтобы окончательно доказать, что (9^26) - (2^65) делится на 49, нам необходимо убедиться, что (9^26) - 32 делится на 49.

Результат

Окончательный расчет показывает, что (9^26) - (2^65) равно (9^26) - 32 по модулю 49. Для доказательства того, что (9^26) - (2^65) делится на 49, нам необходимо проверить, делится ли (9^26) - 32 на 49. Если остаток от деления равен нулю, то (9^26) - (2^65) действительно делится на 49.