Question

Комбинаторика. На книжной полке находятся книги по математике и по логике – всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10. ​

Answer 1

Ответ:

N = C(5, 10)*C(5, 10) = 63504

Объяснение:

Очевидно, что книг по математике и книг по логике должно быть не меньше 5 каждого вида, иначе нельзя набрать такие комплекты.

Варианты:

1) 5 книг по математике и 15 по логике. Количество наборов:

N = C(5, 5)*C(5, 15) = 1*(15*14*13*12*11)/5! = 13*11*3*5*2*7*4*3/5! =

= 13*11*7*3 = 3003

2) 6 книг по математике и 14 по логике. Количество наборов:

N = C(5, 6)*C(5, 14) = 6*(14*13*12*11*10)/5! = 6*13*11*2*7*4*3*5*2/5! =

= 6*13*11*7*2 = 12012

3) 7 книг по математике и 13 по логике. Количество наборов:

N = C(5, 7)*C(5, 13) = (7*6)/2*(13*12*11*10*9)/5! = 7*3*13*11*3*4*2*5*9/5! =

= 7*13*11*3*9 = 27027

4) 8 книг по математике и 12 по логике. Количество наборов:

N = C(5, 8)*C(5, 12) = (8*7*6)/6*(12*11*10*9*8)/5! = 56*11*3*4*2*5*9*8/5! =

= 56*11*9*8 = 44352

5) 9 книг по математике и 11 по логике. Количество наборов:

N = C(5, 9)*C(5, 11) = (9*8*7*6)/4!*(11*10*9*8*7)/5! = 7*18*11*2*5*3*3*4*2*7/5!

= 7*18*11*42 = 58212

6) 10 книг по математике и 10 по логике. Количество наборов:

N = C(5, 10)*C(5, 10) = (10*9*8*7*6)/5!*(10*9*8*7*6)/5! =

= (2*5*3*3*2*4*42)/5! * (2*5*3*3*2*4*42)/5! = 6*42*6*42 = 63504

Остальные наборы будут симметричны первым пяти.

Максимальное количество вариантов:

N = C(5, 10)*C(5, 10) = 63504

Answer 2

Я могу помочь вам с комбинаторикой. Ваш вопрос сводится к тому, как найти максимум функции $$f(x) = C_x^5 \cdot C_{20-x}^5$$, где $$x$$ - число книг по математике на полке. Функция $$f(x)$$ достигает максимума при $$x = 10$$, потому что в этом случае она равна $$C_{10}^5 \cdot C_{10}^5 = 252 \cdot 252 = 63504$$. Это больше, чем при любом другом целом значении $$x$$ от 0 до 20. Для доказательства этого факта можно использовать бином Ньютона или сравнить значения функции $$f(x)$$ при соседних значениях $$x$$. Надеюсь, это помогло вам.Ответь+подробно.++Комбинаторика.+На+книжной+полке+находятся+книги+по+математике+и+по+логике+–+всего+20+книг.+Показать,+что+наибольшее+количество+вариантов+комплекта,+содержащего+5+книг+по+математике+и+5+книг+по+логике,+возможно+в+том+случае,+когда+число+книг+на+полке+по+каждому+предмету+равно+10.+​+