Question

Знайти екстремуми функції (желательно полное решение) f(x)=(x²-3x)/(x+1)

Answer 1

Ответ:

-3 ; 1

f'(x)=(2x-3)(x+1)-(x²-3x)/(x+1)²

f'(x)=x²+2x-3/(x+1)²

(x+1)²≠0, тому x≠ -1

x²+2x-3=0

D=16

x1= 1

x2= -3

За методом інтервалів визначаємо проміжки зростання та спадання функції, і точки, в яких спадання змінюються на зростання чи навпаки — екстремуми функції

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції $f(x) = \frac{{x^2-3x}}{{x+1}}$, потрібно взяти похідну функції і вирішити рівняння $f'(x) = 0$.

Спочатку знайдемо похідну $f'(x)$: $f'(x) = \frac{{(x+1)(2x-3) - (x^2-3x)(1)}}{{(x+1)^2}}$ $f'(x) = \frac{{2x^2 - x - 3}}{{(x+1)^2}}$

Тепер розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$: $\frac{{2x^2 - x - 3}}{{(x+1)^2}} = 0$

Множником у знаменнику є квадрат, тому $(x+1)^2$ не може дорівнювати нулю. Тому рівняння може мати розв'язки тільки в чисельнику: $2x^2 - x - 3 = 0$

Розв'яжемо це квадратне рівняння. Ми можемо використовувати квадратне рівняння: $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}$

Де $a = 2$, $b = -1$, $c = -3$.

Підставляємо ці значення: $x = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{{(-1)^2 - 4(2)(-3)}}}}{{2(2)}}$ $x = \frac{{1 \pm \sqrt{{1 + 24}}}}{{4}}$ $x = \frac{{1 \pm \sqrt{{25}}}}{{4}}$ $x = \frac{{1 \pm 5}}{{4}}$

Таким чином, отримуємо два розв'язки: $x_1 = \frac{{1 + 5}}{{4}} = \frac{{6}}{{4}} = \frac{{3}}{{2}}$ $x_2 = \frac{{1 - 5}}{{4}} = \frac{{-4}}{{4}} = -1$

Тепер ми маємо дві точки, в яких можуть знаходитися екстремуми: $x = \frac{{3}}{{2}}$ та $x = -1$.

Щоб визначити, чи є ці точки максимумами або мінімумами, ми можемо проаналізувати знаки другої похідної $f''(x)$.

Друга похідна $f''(x)$ буде дорівнювати:

$$$$