Question

а) В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 7/15. Найдите синус и косинус угла при его вершине. ​

Answer 1

Ответ:

синус $\frac{56\sqrt{11} }{225}$, косинус $-\frac{127}{225}$

Объяснение:

Обозначим угол при основании через $\alpha$. Тогда угол при вершине будет равен $\pi -2\alpha$.

$\sin\alpha = \frac{7}{15}$
Угол при основании острый, поэтому $\cos\alpha > 0$.

$\cos\alpha =\sqrt{1-\sin^2\alpha }$

$\cos\alpha =\sqrt{1-(\frac{7}{15})^2} =\frac{4\sqrt{11} }{15}$
$\sin({\pi -2\alpha }) = \sin{2\alpha }=2 \cdot \sin\alpha \cos\alpha =2 \cdot \frac{7}{15}\frac{4 \sqrt{11} }{15}=\frac{56\sqrt{11} }{225}$

$\cos({\pi -2\alpha }) = -\cos{2\alpha } = - (1 - 2\sin^2\alpha ) = 2\sin^2\alpha-1=2(\frac{7}{15})^2-1=\frac{98}{225}-1 = -\frac{127}{225}$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства равнобедренного треугольника и формулы синуса и косинуса.

В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен отношению половины основания к длине боковой стороны. Поэтому, если синус угла при основании равен 7/15, мы можем записать:

sin(угол при основании) = (1/2 основания) / сторона

Так как треугольник равнобедренный, то сторона, противоположная углу при основании, также является радиусом вписанной окружности. Это означает, что сторона равна радиусу окружности, а радиус окружности в два раза больше высоты треугольника, опущенной из вершины на основание. Поэтому, если мы обозначим высоту треугольника как h, то сторона будет равна 2h.

Теперь мы можем записать уравнение для синуса угла при основании:

sin(угол при основании) = (1/2 основания) / сторона 7/15 = (1/2 основания) / 2h

Далее, нам нужно найти синус и косинус угла при вершине. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. В равнобедренном треугольнике, два угла при основании равны между собой. Поэтому, угол при вершине равен (180 - 2 * угол при основании) / 2.

Теперь мы можем найти синус и косинус угла при вершине, используя формулы синуса и косинуса:

sin(угол при вершине) = sin((180 - 2 * угол при основании) / 2) cos(угол при вершине) = cos((180 - 2 * угол при основании) / 2)

Теперь, когда мы знаем угол при основании, мы можем использовать эти формулы для вычисления синуса и косинуса угла при вершине.