Question

сума першого й четвертого членів арифметичної прогресії дорівнює 2, а сума їхніх квадратів 20, знайти суму перших восьми членів цієї прогресії

Answer 1

$\left \{ {{a_{1}+a_{4}=2} \atop {a^2_{1}+a^2_{4}=20}} \right.$

По формуле

$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$

$a_{4}=a_{1}+3d$

$\left \{ {{a_{1}+(a_{1}+3d)=2} \atop {a^2_{1}+(a_{1}+3d)^2=20}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {(\frac{2-3d}{2})^2+(\frac{2-3d}{2}+3d)^2=20}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {(\frac{2-3d}{2})^2+(\frac{2+3d}{2})^2=20}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {\frac{4-12d+9d^2}{4}+\frac{4+12d+9d^2}{4}=20}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {8+18d^2=80} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3d}{2}} \atop {d^2=4} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3\cdot (-2)}{2}} \atop {d=-2} \right.$           или      $\left \{ {{a_{1}=\frac{2-3\cdot 2}{2}} \atop {d=2} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=4} \atop {d=-2} \right.$           или      $\left \{ {{a_{1}=-2} \atop {d=2} \right.$

$S_{8}=\frac{2\cdot 4+(-2)\cdot 7}{2}\cdot 8$   или $S_{8}=\frac{2\cdot (-2)+2\cdot 7}{2}\cdot 8$

$S_{8}=-24$   или $S_{8}=40$

О т в е т. -24  или 40

Answer 2

Для розв'язання цього завдання, спочатку потрібно знайти значення першого члена аритметичної прогресії (a) та різницю між членами прогресії (d). Після цього можна обчислити значення восьмого члена прогресії (a₈) і знайти суму перших восьми членів.

За умовою задачі, сума першого й четвертого членів прогресії дорівнює 2. Можемо записати це у вигляді рівняння:

a + (a + 3d) = 2

Також, сума їхніх квадратів дорівнює 20. Це можна записати так:

a² + (a + 3d)² = 20

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь.

Розкриємо квадрати:

a² + (a² + 6ad + 9d²) = 20

Зведемо подібні доданки:

2a² + 6ad + 9d² = 20

Тепер маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

a + (a + 3d) = 2 2a² + 6ad + 9d² = 20

Перепишемо перше рівняння у вигляді:

2a + 3d = 2

Виразимо a з першого рівняння:

a = 2 - 3d

Підставимо це значення в друге рівняння:

2(2 - 3d)² + 6(2 - 3d)d + 9d² = 20

Розкриємо квадрати:

2(4 - 12d + 9d²) + 12d - 18d² + 9d² = 20

Спростимо вираз:

8 - 24d + 18d² + 12d - 18d² + 9d² = 20

Поділимо на 2:

4 - 12d + 9d² + 6d - 9d² + 4.5d² = 10

Скомбінуємо подібні доданки:

4 - 6d + 4.5d² = 10

Перенесемо 10 на ліву сторону:

-6d + 4.5d² - 6 = 0

Домножимо на 2 для зручності:

-12d + 9d² - 12 = 0

Розкриємо дужки:

9d² - 12d - 12 = 0

Знайдемо корені цього квадратного рівняння. Можна використати формулу дискримінанта:

D = b² - 4ac

У нашому випадку:

a = 9, b = -12, c = -12

D = (-12)² - 4(9)(-12) = 144 + 432 = 576

Так як дискримінант D більше нуля, у рівняння є два різні корені.

d₁ = (-b + √D) / 2a = (-(-12) + √576) / (2 * 9) = (12 + 24) / 18 = 36 / 18 = 2

d₂ = (-b - √D) / 2a = (-(-12) - √576) / (2 * 9) = (12 - 24) / 18 = -12 / 18 = -2/3

Отже, отримали два значення для різниці між членами прогресії: d₁ = 2 і d₂ = -2/3. Тепер знайдемо значення першого члена прогресії.

Підставимо значення d₁ = 2 у перше рівняння:

a + (a + 3(2)) = 2 a + a + 6 = 2 2a + 6 = 2 2a = -4 a = -2

Підставимо значення d₂ = -2/3 у перше рівняння:

a + (a + 3(-2/3)) = 2 a + a - 2 = 2 2a - 2 = 2 2a = 4 a = 2

Отже, отримали два значення для першого члена прогресії: a₁ = -2 і a₂ = 2. Але за умовою задачі ми шукаємо суму перших восьми членів прогресії, тому візьмемо перше значення.

Тепер можемо обчислити значення восьмого члена прогресії:

a₈ = a + 7d = -2 + 7(2) = -2 + 14 = 12

Сума перших восьми членів прогресії дорівнює:

S₈ = (n/2)(a + aₙ) = (8/2)(-2 + 12) = 4(10) = 40

Отже, сума перших восьми членів цієї арифметичної прогресії дорівнює 40.