Question

50баллов!срочно!! Решите неравенство методом интервалов: ((25x^2-30x+9) / (x^2-6x-7))≥ 0.

Answer 1

Решение.

Метод интервалов решения неравенств.

$\dfrac{25x^2-30x+9}{x^2-6x-7}\geq 0$

Найдём нули числителя и знаменателя.

$25x^2-30x+9=0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=30^2-4\cdot 25\cdot 9=0\ \ \Rightarrow \ \ (5x-3)^2=0\ \ ,\ \ 5x-3=0\ ,\ \ x=0,6$

$x^2-6x-7=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=7$   (по теореме Виета)

Неравенство примет вид:  $\dfrac{(5x-3)^2}{(x+1)(x-7)}\geq 0\ \ ,\ \ x\ne -1\ ,\ x\ne 7$  .

Подсчитаем знаки на интервалах между нулями функции.

 + + + + +(-1) - - - - [0,6] - - - - (7) + + + + +  

Выбираем промежутки, где записан знак плюс, причём не забываем, что равенство нулю возможно при х=0,6 .                  

Ответ:   $x\in (-\infty ;-1\ )\cup \{0,6\}\cup (\ 7\ ;+\infty )$  .

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы должны найти все точки, где выражение в знаменателе равно нулю, так как в этих точках функция может менять знак. Затем мы проверяем каждый интервал между этими точками, чтобы определить знак выражения внутри каждого интервала.

Начнем с нахождения точек, где знаменатель равен нулю. Решим уравнение x^2 - 6x - 7 = 0 с помощью квадратного уравнения. Получаем два корня: x1 = -1 и x2 = 7.

Теперь мы можем построить интервалы на числовой прямой: (-∞, -1), (-1, 7), (7, +∞). Мы выбираем по одному значению из каждого интервала и подставляем их в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения внутри каждого интервала.

Для интервала (-∞, -1): Пусть x = -2. Подставляем это значение в исходное неравенство: (25*(-2)^2 - 30*(-2) + 9) /((-2)^2 - 6*(-2) - 7) ≥ 0. Получаем 49/27 ≥ 0, что верно. Значит, этот интервал удовлетворяет неравенству.

Для интервала (-1, 7): Пусть x = 0. Подставляем это значение в исходное неравенство: (25*0^2 - 30*0 + 9) /(0^2 - 6*0 - 7) ≥ 0. Получаем 9/-7 < 0, что неверно. Значит, этот интервал не удовлетворяет неравенству.

Для интервала (7, +∞): Пусть x = 8. Подставляем это значение в исходное неравенство: (25*8^2 - 30*8 + 9) /(8^2 - 6*8 - 7) ≥ 0. Получаем 569/39 ≥ 0, что верно. Значит, этот интервал удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решением неравенства методом интервалов является (-∞, -1) объединение (7, +∞).