Question

Первый второй и третий члены геометрической прогрессии равны соответственно третьему шестому и восьмому членам арифметической прогрессии, их произведение равно 125. Найти первый член геометрической прогрессии.

Answer 1

Ответ:

b₁ = 7.5

Объяснение:

b₁ = a₃    или      b₁ = a₁ + 2d         (1)

b₂ = a₆     или     b₁q = a₁ + 5d      (2)

b₃ = a₉     или     b₁q² = a₁ + 7d     (3)

b₁ b₂b₃ = 125 или b₁ · b₁q · b₁q² = 125  ⇒ b₁³q³ = 125 ⇒  b₁q = 5    (4)

Из (2) получим

5 = a₁ + 5d    ⇒   a₁ = 5 - 5d     (5)

Из (3) получим

5q = 5 - 5d +7d   ⇒  q = 1 + 2d/5      (6)

Из (1) получим

b₁ = 5 - 5d + 2d    ⇒     b₁ = 5 - 3d   ⇒  d = (5 - b₁)/3        (7)

Из (4) и (6) получим

b₁ · ( 1 + 2d/5) = 5            

откуда

$\dfrac{5}{b_1} = 1 + \dfrac{2d}{5} ~~~~~~(8)$

Подставим (7) в (8)

$\dfrac{5}{b_1} = 1 + \dfrac{2\cdot (5 - b_1) }{15}$

Преобразуем полученное уравнение

75 = 15b₁ + 10b₁ - 2b₁²

или

2b₁² - 25b₁ + 75 = 0

D = 625 - 8 · 75 = 25

b₁₁ = 0.25 · (25 -5) = 5  не подходит, та как тогда из (4) q = 1, а из (6) d = 0. И тогда нет ни геометрической, ни арифметической прогрессии.

b₁₂ = 0.25 · (25 + 5) = 7,5

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q.

Тогда второй член геометрической прогрессии будет равен aq, а третий член - aq^2.

По условию, третий член геометрической прогрессии равен третьему члену арифметической прогрессии, то есть a*q^2 = 3-й член арифметической прогрессии.

Также, второй член геометрической прогрессии равен шестому члену арифметической прогрессии, то есть a*q = 6-й член арифметической прогрессии.

И третий член геометрической прогрессии равен восьмому члену арифметической прогрессии, то есть a*q^2 = 8-й член арифметической прогрессии.

Мы можем записать систему уравнений на основе этих условий:

aq^2 = 3-й член арифметической прогрессии ... (1) aq = 6-й член арифметической прогрессии ... (2) a*q^2 = 8-й член арифметической прогрессии ... (3)

Из уравнений (1) и (3) мы можем найти значение q:

aq^2 = aq^2 3q^2 = 8q^2

3 = 8q^2 - 3q^2 3 = 5*q^2

q^2 = 3/5 q = sqrt(3/5)

Теперь, используя значение q, мы можем найти значение a из уравнения (2):

a*q = 6

a*sqrt(3/5) = 6

a = 6 / sqrt(3/5) a = 6 * sqrt(5/3) a = 10 * sqrt(5/3)

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 10 * sqrt(5/3).