Question

Исследуйте функцию и постройте ее график y=0.125(x^3-12x)

Answer 1

Исследуйте функцию и постройте ее график

y=0.125·(x³-12x)

1. Область определения :

$x \in ( -\infty ~ ; ~ \infty )$

2. Четность нечетность :

$y(-x) = 0,125\Big ((-x)^3-12(-x)\Big)= 0,125(-x^3 +12x)$

$y(-x) = -y(x)$

Функция нечетная , симметрична относительно начала координат

3. Пересечение с осями координат :

1)

$Ox \Rightarrow y=0 \\\\ 0,125(x^3 - 12x)=0 \\\\ 0,125 x(x-2\sqrt{3} )(x+2\sqrt{3} ) =0$

$x =0 ~ , ~ x= 2\sqrt{3} ~ , ~ x =-2\sqrt{3}$

2) с осью Оу следовательно х = 0 , у = 0.

4. Непрерывность :

Функция непрерывна , асимптот  нет

5. Возрастание убывание , экстремумы :

$y '=\Big( 0,125(x^3 - 12x ) \Big) ' = 0,125(3x^2 -12)$

$3x^2 - 12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.88,-0.3) {\sf - 2} \put(1 ,0.1){ \LARGE \text{~~~ ---} } \put(.1 ,0.1){ \Large \text{~~ +} } \put(2.1 ,0.1){ \Large \text{ ~~+} } \put(1,0){\circle*{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf 2}\put(2.05,0){\circle*{0.05}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

Выходит что функция :

$\LARGE \boldsymbol{ \Uparrow }$ Возрастает   когда $x\in (- \infty ~ ; ~ - 2 ] \cup [2 ~; ~ \infty )$

$\LARGE \boldsymbol{ \Downarrow }$    Убывает когда    $x\in [~- 2 ~; ~2~]$

Находим экстремумы

$y _{min}=y(2) = \dfrac{1}{8}(8 - 24) = \dfrac{1}{8}\cdot (-16) = - 2$

$y _{max}= y(-2) =\dfrac{1}{8}( -8 + 24) = 2$

6. Выпуклость вогнутость :

Находим вторую производную

$y ''= ( 0,125(3x^2 -12))' = 0,125 \cdot 6x = 0,75x$

Приравниваем к нулю :

$0,75 x = 0$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(1.45,-0.3) {\sf 0} \put(.5 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(2.1 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1.5,0){\circle*{0.05}} \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

Если     « + »  , то функция  вогнута

Если     «—»  , то функция выпукла

Таким образом :

Если  $x \in [~ 0 ~ ; ~ \infty )$   функция вогнута

Если  $x \in (- \infty ~ ; ~ 0]$  функция выпукла

Answer 2

Для исследования функции и построения ее графика y = 0.125(x^3 - 12x), мы можем анализировать различные аспекты, такие как область определения, точки пересечения с осями, экстремумы, поведение при x -> ±∞ и выпуклость.

1. Область определения: Функция y = 0.125(x^3 - 12x) определена для всех действительных чисел x. Таким образом, область определения - (-∞, +∞).

2. Точки пересечения с осями: Чтобы найти точки пересечения с осями, приравняем y к 0 и решим уравнение: 0 = 0.125(x^3 - 12x)

Так как уравнение равенства нулю можно переписать в виде: x(x^2 - 12) = 0

Мы получаем два корня: x = 0 и x^2 - 12 = 0, что дает x = ±√12.

Таким образом, функция пересекает ось OX в трех точках: (0, 0), (√12, 0) и (-√12, 0).

3. Экстремумы: Для нахождения экстремумов вычислим производную функции и найдем ее корни: y' = 0.375x^2 - 3

0 = 0.375x^2 - 3 0.375x^2 = 3 x^2 = 3 / 0.375 x^2 = 8 x = ±√8

Из производной, мы получаем две критические точки: x = √8 и x = -√8.

Теперь, чтобы определить тип экстремумов, возьмем вторую производную: y'' = 0.75x

Подставляя критические точки, получим: y''(√8) = 0.75√8 > 0 (положительное значение) y''(-√8) = -0.75√8 < 0 (отрицательное значение)

Таким образом, функция имеет локальный минимум в точке (√8, f(√8)) и локальный максимум в точке (-√8, f(-√8)).

4. Поведение при x -> ±∞: При x, стремящемся к положительной или отрицательной бесконечности, каждый член в скобках становится очень большим, что приводит к тому, что функция также стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

5. Выпуклость: Чтобы определить выпуклость функции, возьмем вторую производную: y'' = 0.75